Theorem pltval 16781

Description: Less-than relation. (Def. df-pss 2607 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	|- L = (le` K)
pltval.s	|- S = (lt` K)

Assertion

Ref	Expression
pltval	|- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) -> (XSY <-> (XLY /\ X =/= Y)))

Proof of Theorem pltval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . . . . 6 |- (K e. A -> K e. _V)
2		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (p = K -> (le` p) = (le` K))
3	2	difeq1d 2725	. . . . . . 7 |- (p = K -> ((le` p) \ _I ) = ((le` K) \ _I ))
4		df-plt 16780	. . . . . . 7 |- lt = (p e. _V |-> ((le` p) \ _I ))
5		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- (le` K) e. _V
6		difexg 3458	. . . . . . . 8 |- ((le` K) e. _V -> ((le` K) \ _I ) e. _V)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((le` K) \ _I ) e. _V
8	3, 4, 7	fvmpt 5015	. . . . . 6 |- (K e. _V -> (lt` K) = ((le` K) \ _I ))
9	1, 8	syl 12	. . . . 5 |- (K e. A -> (lt` K) = ((le` K) \ _I ))
10		pltval.s	. . . . 5 |- S = (lt` K)
11	9, 10	syl5eq 1940	. . . 4 |- (K e. A -> S = ((le` K) \ _I ))
12	11	breqd 3349	. . 3 |- (K e. A -> (XSY <-> X((le` K) \ _I )Y))
13		ideqg 4114	. . . . . . 7 |- (Y e. C -> (X _I Y <-> X = Y))
14	13	necon3bbid 2034	. . . . . 6 |- (Y e. C -> (-. X _I Y <-> X =/= Y))
15	14	adantl 424	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. C) -> (-. X _I Y <-> X =/= Y))
16	15	anbi2d 678	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. C) -> ((XLY /\ -. X _I Y) <-> (XLY /\ X =/= Y)))
17		pltval.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
18	17	difeq1i 2722	. . . . . 6 |- (L \ _I ) = ((le` K) \ _I )
19	18	breqi 3344	. . . . 5 |- (X(L \ _I )Y <-> X((le` K) \ _I )Y)
20		brdif 3389	. . . . 5 |- (X(L \ _I )Y <-> (XLY /\ -. X _I Y))
21	19, 20	bitr3i 192	. . . 4 |- (X((le` K) \ _I )Y <-> (XLY /\ -. X _I Y))
22	16, 21	syl5bb 591	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. C) -> (X((le` K) \ _I )Y <-> (XLY /\ X =/= Y)))
23	12, 22	sylan9bb 599	. 2 |- ((K e. A /\ (X e. B /\ Y e. C)) -> (XSY <-> (XLY /\ X =/= Y)))
24	23	3impb 1063	1 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) -> (XSY <-> (XLY /\ X =/= Y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   class class class wbr 3338   _I cid 3582  ` cfv 3998  lecple 16759  ltcplt 16761

This theorem is referenced by:  pltle 16782  pltne 16783  pleval2 16785  pltnle 16786  pltval3 16787  plttr 16790  latnlemlt 16879  latnle 16880  cvrval2 16991  cvrnbtwn2 16992  cvrnbtwn3 16993  cvrle 16995  cvrnbtwn4 16996  cvrne 16998  hlrelat5 17050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-plt 16780

Copyright terms: Public domain