MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Unicode version

Theorem pltval 15569
Description: Less-than relation. (df-pss 3477 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltfval 15568 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .<  =  (  .<_  \  _I  )
)
43breqd 4448 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .<  Y  <->  X (  .<_ 
\  _I  ) Y ) )
5 brdif 4487 . . . 4  |-  ( X (  .<_  \  _I  ) Y 
<->  ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y
) )
6 ideqg 5144 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  C  ->  ( X  _I  Y  <->  X  =  Y ) )
76necon3bbid 2690 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  C  ->  ( -.  X  _I  Y  <->  X  =/=  Y ) )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( -.  X  _I  Y 
<->  X  =/=  Y ) )
98anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
105, 9syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X (  .<_  \  _I  ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
114, 10sylan9bb 699 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  C
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
12113impb 1193 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458   class class class wbr 4437    _I cid 4780   ` cfv 5578   lecple 14686   ltcplt 15549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-plt 15567
This theorem is referenced by:  pltle  15570  pltne  15571  pleval2i  15573  pltnle  15575  pltval3  15576  plttr  15579  latnlemlt  15693  latnle  15694  ipolt  15768  ogrpaddlt  27686  ogrpsublt  27690  ornglmullt  27775  orngrmullt  27776  orngmullt  27777  ofldlt1  27781  opltn0  34790  cvrval2  34874  cvrnbtwn2  34875  cvrnbtwn3  34876  cvrle  34878  cvrnbtwn4  34879  cvrne  34881  atlltn0  34906  hlrelat5N  35000  llnle  35117  lplnle  35139  llncvrlpln2  35156  lplncvrlvol2  35214  lhp2lt  35600  lautlt  35690
  Copyright terms: Public domain W3C validator