MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Unicode version

Theorem pltval 15464
Description: Less-than relation. (df-pss 3497 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltfval 15463 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .<  =  (  .<_  \  _I  )
)
43breqd 4464 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .<  Y  <->  X (  .<_ 
\  _I  ) Y ) )
5 brdif 4503 . . . 4  |-  ( X (  .<_  \  _I  ) Y 
<->  ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y
) )
6 ideqg 5160 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  C  ->  ( X  _I  Y  <->  X  =  Y ) )
76necon3bbid 2714 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  C  ->  ( -.  X  _I  Y  <->  X  =/=  Y ) )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( -.  X  _I  Y 
<->  X  =/=  Y ) )
98anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
105, 9syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X (  .<_  \  _I  ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
114, 10sylan9bb 699 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  C
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
12113impb 1192 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478   class class class wbr 4453    _I cid 4796   ` cfv 5594   lecple 14579   ltcplt 15445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-plt 15462
This theorem is referenced by:  pltle  15465  pltne  15466  pleval2i  15468  pltnle  15470  pltval3  15471  plttr  15474  latnlemlt  15588  latnle  15589  ipolt  15663  ogrpaddlt  27523  ogrpsublt  27527  ornglmullt  27613  orngrmullt  27614  orngmullt  27615  ofldlt1  27619  opltn0  34343  cvrval2  34427  cvrnbtwn2  34428  cvrnbtwn3  34429  cvrle  34431  cvrnbtwn4  34432  cvrne  34434  atlltn0  34459  hlrelat5N  34553  llnle  34670  lplnle  34692  llncvrlpln2  34709  lplncvrlvol2  34767  lhp2lt  35153  lautlt  35243
  Copyright terms: Public domain W3C validator