MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Unicode version

Theorem pltval 15112
Description: Less-than relation. (df-pss 3332 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltfval 15111 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .<  =  (  .<_  \  _I  )
)
43breqd 4291 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .<  Y  <->  X (  .<_ 
\  _I  ) Y ) )
5 brdif 4330 . . . 4  |-  ( X (  .<_  \  _I  ) Y 
<->  ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y
) )
6 ideqg 4978 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  C  ->  ( X  _I  Y  <->  X  =  Y ) )
76necon3bbid 2632 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  C  ->  ( -.  X  _I  Y  <->  X  =/=  Y ) )
87adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( -.  X  _I  Y 
<->  X  =/=  Y ) )
98anbi2d 696 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
105, 9syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X (  .<_  \  _I  ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
114, 10sylan9bb 692 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  C
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
12113impb 1176 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    \ cdif 3313   class class class wbr 4280    _I cid 4618   ` cfv 5406   lecple 14227   ltcplt 15093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-plt 15110
This theorem is referenced by:  pltle  15113  pltne  15114  pleval2i  15116  pltnle  15118  pltval3  15119  plttr  15122  latnlemlt  15236  latnle  15237  ipolt  15311  ogrpaddlt  26004  ogrpsublt  26008  ornglmullt  26127  orngrmullt  26128  orngmullt  26129  ofldlt1  26133  opltn0  32405  cvrval2  32489  cvrnbtwn2  32490  cvrnbtwn3  32491  cvrle  32493  cvrnbtwn4  32494  cvrne  32496  atlltn0  32521  hlrelat5N  32615  llnle  32732  lplnle  32754  llncvrlpln2  32771  lplncvrlvol2  32829  lhp2lt  33215  lautlt  33305
  Copyright terms: Public domain W3C validator