MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pltval 16206
Description: Less-than relation. (df-pss 3420 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltfval 16205 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .<  =  (  .<_  \  _I  )
)
43breqd 4413 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .<  Y  <->  X (  .<_ 
\  _I  ) Y ) )
5 brdif 4453 . . . 4  |-  ( X (  .<_  \  _I  ) Y 
<->  ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y
) )
6 ideqg 4986 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  C  ->  ( X  _I  Y  <->  X  =  Y ) )
76necon3bbid 2661 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  C  ->  ( -.  X  _I  Y  <->  X  =/=  Y ) )
87adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( -.  X  _I  Y 
<->  X  =/=  Y ) )
98anbi2d 710 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
105, 9syl5bb 261 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X (  .<_  \  _I  ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
114, 10sylan9bb 706 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  C
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
12113impb 1204 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401   class class class wbr 4402    _I cid 4744   ` cfv 5582   lecple 15197   ltcplt 16186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-plt 16204
This theorem is referenced by:  pltle  16207  pltne  16208  pleval2i  16210  pltnle  16212  pltval3  16213  plttr  16216  latnlemlt  16330  latnle  16331  ipolt  16405  ogrpaddlt  28481  ogrpsublt  28485  ornglmullt  28570  orngrmullt  28571  orngmullt  28572  ofldlt1  28576  opltn0  32756  cvrval2  32840  cvrnbtwn2  32841  cvrnbtwn3  32842  cvrle  32844  cvrnbtwn4  32845  cvrne  32847  atlltn0  32872  hlrelat5N  32966  llnle  33083  lplnle  33105  llncvrlpln2  33122  lplncvrlvol2  33180  lhp2lt  33566  lautlt  33656
  Copyright terms: Public domain W3C validator