Theorem pltne 16783

Description: Less-than relation. (Def. df-pss 2607 analog.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	|- S = (lt` K)

Assertion

Ref	Expression
pltne	|- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) -> (XSY -> X =/= Y))

Proof of Theorem pltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- (le` K) = (le` K)
2		pltne.s	. . . 4 |- S = (lt` K)
3	1, 2	pltval 16781	. . 3 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) -> (XSY <-> (X(le` K)Y /\ X =/= Y)))
4	3	simplbda 465	. 2 |- (((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) /\ XSY) -> X =/= Y)
5	4	ex 402	1 |- ((K e. A /\ X e. B /\ Y e. C) -> (XSY -> X =/= Y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  lecple 16759  ltcplt 16761

This theorem is referenced by:  pltirr 16784  hl1atom 17040  ps2 17079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-plt 16780

Copyright terms: Public domain