MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltle Structured version   Unicode version

Theorem pltle 15790
Description: Less-than implies less-than-or-equal. (pssss 3585 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltle  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )

Proof of Theorem pltle
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltval 15789 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
43simprbda 621 . 2  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C
)  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<_  Y )
54ex 432 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   lecple 14791   ltcplt 15769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-plt 15787
This theorem is referenced by:  pleval2  15794  pltnlt  15797  pltn2lp  15798  plttr  15799  pospo  15802  ogrpaddlt  27942  isarchi3  27965  archirngz  27967  archiabllem2a  27972  orngsqr  28029  ornglmullt  28032  orngrmullt  28033  atnlt  35435  cvlcvr1  35461  hlrelat  35523  hlrelat3  35533  cvratlem  35542  atltcvr  35556  atlelt  35559  llnnlt  35644  lplnnle2at  35662  lplnnlt  35686  lvolnle3at  35703  lvolnltN  35739  cdlemblem  35914  cdlemb  35915  lhpexle1  36129
  Copyright terms: Public domain W3C validator