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Theorem pl42lem4N 34653
Description: Lemma for pl42N 34654. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem4N
StepHypRef Expression
1 pl42lem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 pl42lem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 pl42lem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 pl42lem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 pl42lem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
6 pl42lem.f . . . . 5  |-  F  =  ( pmap `  K
)
7 pl42lem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +P `  K
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem1N 34650 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) ) )
983impia 1188 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem3N 34652 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
11 simpl1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 34035 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
14 simpl2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
15 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
161, 15, 6pmapsub 34439 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
1713, 14, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
18 simpl3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
191, 15, 6pmapsub 34439 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2013, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
21 simpr2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
221, 15, 6pmapsub 34439 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B )  ->  ( F `  W
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2313, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )
)
24 simpr3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
251, 15, 6pmapsub 34439 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2613, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  e.  ( PSubSp `  K )
)
2715, 7pmodl42N 34522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)  /\  ( ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
2811, 17, 20, 23, 26, 27syl32anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem2N 34651 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3028, 29eqsstrd 3531 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3110, 30sstrd 3507 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
32313adant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `
 V ) ) 
C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
339, 32eqsstrd 3531 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
34333expia 1193 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3468    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   occoc 14552   joincjn 15420   meetcmee 15421   Latclat 15521   HLchlt 34022   PSubSpcpsubsp 34167   pmapcpmap 34168   +Pcpadd 34466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-undef 6992  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-polarityN 34574  df-psubclN 34606
This theorem is referenced by:  pl42N  34654
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