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Theorem pl42lem4N 32979
Description: Lemma for pl42N 32980. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem4N
StepHypRef Expression
1 pl42lem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 pl42lem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 pl42lem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 pl42lem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 pl42lem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
6 pl42lem.f . . . . 5  |-  F  =  ( pmap `  K
)
7 pl42lem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +P `  K
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem1N 32976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) ) )
983impia 1194 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem3N 32978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
11 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 32361 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
14 simpl2 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
15 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
161, 15, 6pmapsub 32765 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
1713, 14, 16syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
18 simpl3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
191, 15, 6pmapsub 32765 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2013, 18, 19syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
21 simpr2 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
221, 15, 6pmapsub 32765 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B )  ->  ( F `  W
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2313, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )
)
24 simpr3 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
251, 15, 6pmapsub 32765 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2613, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  e.  ( PSubSp `  K )
)
2715, 7pmodl42N 32848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)  /\  ( ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
2811, 17, 20, 23, 26, 27syl32anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem2N 32977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3028, 29eqsstrd 3475 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3110, 30sstrd 3451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
32313adant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `
 V ) ) 
C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
339, 32eqsstrd 3475 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
34333expia 1199 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   occoc 14915   joincjn 15895   meetcmee 15896   Latclat 15997   HLchlt 32348   PSubSpcpsubsp 32493   pmapcpmap 32494   +Pcpadd 32792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-undef 7004  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-polarityN 32900  df-psubclN 32932
This theorem is referenced by:  pl42N  32980
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