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Theorem pl42lem3N 34795
Description: Lemma for pl42N 34797. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl2 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
3 pl42lem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pl42lem.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
63, 4, 5pmapssat 34573 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
71, 2, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
93, 4, 5pmapssat 34573 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
101, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K )
)
11 pl42lem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +P `  K
)
124, 11paddssat 34628 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  X ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
131, 7, 10, 12syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
14 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
153, 4, 5pmapssat 34573 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( F `  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
161, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 inss1 3718 . . . 4  |-  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  C_  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )
184, 11paddss1 34631 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  C_  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) ) ) )
1917, 18mpi 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) ) )
201, 13, 16, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) ) )
21 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
223, 4, 5pmapssat 34573 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  V
)  C_  ( Atoms `  K ) )
231, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  C_  ( Atoms `  K )
)
244, 11sspadd2 34630 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  V ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y
) )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( F `  V )  C_  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( F `  V ) ) )
251, 23, 13, 24syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 V ) ) )
26 ss2in 3725 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  /\  ( F `
 V )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 V ) ) )  ->  ( (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) )  C_  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
2720, 25, 26syl2anc 661 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   occoc 14563   joincjn 15431   meetcmee 15432   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   pmapcpmap 34311   +Pcpadd 34609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-pmap 34318  df-padd 34610
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  34796
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