Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem2N Structured version   Unicode version

Theorem pl42lem2N 33253
Description: Lemma for pl42N 33256. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 32637 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
5 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
6 pl42lem.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 pl42lem.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7latjcl 16248 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
93, 4, 5, 8syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
10 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
11 pl42lem.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
126, 10, 11pmapssat 33032 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )
131, 9, 12syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
14 simpr2 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
156, 7latjcl 16248 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  .\/  W
)  e.  B )
163, 4, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  W )  e.  B )
17 simpr3 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
186, 7latjcl 16248 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( Y  .\/  V
)  e.  B )
193, 5, 17, 18syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  V )  e.  B )
20 pl42lem.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
216, 20latmcl 16249 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
223, 16, 19, 21syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
236, 10, 11pmapssat 33032 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
241, 22, 23syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
251, 13, 243jca 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )
26 pl42lem.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +P `  K
)
276, 7, 11, 26pmapjoin 33125 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) ) )
283, 4, 5, 27syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )
296, 7, 11, 26pmapjoin 33125 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) ) )
303, 4, 14, 29syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  W ) ) )
316, 7, 11, 26pmapjoin 33125 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
)  C_  ( F `  ( Y  .\/  V
) ) )
323, 5, 17, 31syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )
33 ss2in 3695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) )  /\  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) )  C_  (
( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `
 ( Y  .\/  V ) ) ) )
356, 20, 10, 11pmapmeet 33046 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
361, 16, 19, 35syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3734, 36sseqtr4d 3507 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3828, 37jca 534 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3910, 26paddss12 33092 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y ) 
.+  ( F `  V ) ) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
4025, 38, 39sylc 62 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `
 ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
416, 7, 11, 26pmapjoin 33125 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
423, 9, 22, 41syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
4340, 42sstrd 3480 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   occoc 15160   joincjn 16140   meetcmee 16141   Latclat 16242   Atomscatm 32537   HLchlt 32624   pmapcpmap 32770   +Pcpadd 33068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-poset 16142  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-lat 16243  df-clat 16305  df-ats 32541  df-atl 32572  df-cvlat 32596  df-hlat 32625  df-pmap 32777  df-padd 33069
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  33255
  Copyright terms: Public domain W3C validator