MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjval Structured version   Unicode version

Theorem pjval 18270
Description: Value of the projection map. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjfval2.p  |-  P  =  ( proj1 `  W )
pjfval2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjval  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )

Proof of Theorem pjval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  x  =  T )
2 fveq2 5802 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  T ) )
31, 2oveq12d 6221 . 2  |-  ( x  =  T  ->  (
x P (  ._|_  `  x ) )  =  ( T P ( 
._|_  `  T ) ) )
4 pjfval2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
5 pjfval2.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  W )
6 pjfval2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
74, 5, 6pjfval2 18269 . 2  |-  K  =  ( x  e.  dom  K 
|->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )
8 ovex 6228 . 2  |-  ( T P (  ._|_  `  T
) )  e.  _V
93, 7, 8fvmpt 5886 1  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   proj1cpj1 16259   ocvcocv 18220   projcpj 18260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-pj 18263
This theorem is referenced by:  pjf  18273  pjf2  18274  pjfo  18275
  Copyright terms: Public domain W3C validator