MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjval Structured version   Unicode version

Theorem pjval 19037
Description: Value of the projection map. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjfval2.p  |-  P  =  ( proj1 `  W )
pjfval2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjval  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )

Proof of Theorem pjval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  x  =  T )
2 fveq2 5848 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  T ) )
31, 2oveq12d 6295 . 2  |-  ( x  =  T  ->  (
x P (  ._|_  `  x ) )  =  ( T P ( 
._|_  `  T ) ) )
4 pjfval2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
5 pjfval2.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  W )
6 pjfval2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
74, 5, 6pjfval2 19036 . 2  |-  K  =  ( x  e.  dom  K 
|->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )
8 ovex 6305 . 2  |-  ( T P (  ._|_  `  T
) )  e.  _V
93, 7, 8fvmpt 5931 1  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   proj1cpj1 16977   ocvcocv 18987   projcpj 19027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-pj 19030
This theorem is referenced by:  pjf  19040  pjf2  19041  pjfo  19042
  Copyright terms: Public domain W3C validator