Theorem pjthlem5 9306

Description: Lemma for pjthi 9316.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem5.1	|- D e. H~
pjthlem5.2	|- C e. H~
pjthlem5.3	|- S e. CC

Assertion

Ref	Expression
pjthlem5	|- ((normh` (C -h (S .h D)))^2) = ((((normh` C)^2) - (*` (S x. (D .ih C)))) + (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) - (S x. (D .ih C))))

Proof of Theorem pjthlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem5.2	. . . 4 |- C e. H~
2		pjthlem5.3	. . . . 5 |- S e. CC
3		pjthlem5.1	. . . . 5 |- D e. H~
4	2, 3	hvmulcli 8967	. . . 4 |- (S .h D) e. H~
5	1, 4	hvsubcli 8974	. . 3 |- (C -h (S .h D)) e. H~
6	5	normsqi 9082	. 2 |- ((normh` (C -h (S .h D)))^2) = ((C -h (S .h D)) .ih (C -h (S .h D)))
7	2, 1, 3	normlem0 9058	. 2 |- ((C -h (S .h D)) .ih (C -h (S .h D))) = (((C .ih C) + (-u(*` S) x. (C .ih D))) + ((-uS x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D))))
8	1	normsqi 9082	. . . . 5 |- ((normh` C)^2) = (C .ih C)
9	3, 1	hicli 9031	. . . . . . . . 9 |- (D .ih C) e. CC
10	2, 9	cjmuli 6879	. . . . . . . 8 |- (*` (S x. (D .ih C))) = ((*` S) x. (*` (D .ih C)))
11	1, 3	his1i 9049	. . . . . . . . 9 |- (C .ih D) = (*` (D .ih C))
12	11	opreq2i 4030	. . . . . . . 8 |- ((*` S) x. (C .ih D)) = ((*` S) x. (*` (D .ih C)))
13	10, 12	eqtr4i 1545	. . . . . . 7 |- (*` (S x. (D .ih C))) = ((*` S) x. (C .ih D))
14	13	negeqi 5425	. . . . . 6 |- -u(*` (S x. (D .ih C))) = -u((*` S) x. (C .ih D))
15	2	cjcli 6857	. . . . . . 7 |- (*` S) e. CC
16	1, 3	hicli 9031	. . . . . . 7 |- (C .ih D) e. CC
17	15, 16	mulneg1i 5510	. . . . . 6 |- (-u(*` S) x. (C .ih D)) = -u((*` S) x. (C .ih D))
18	14, 17	eqtr4i 1545	. . . . 5 |- -u(*` (S x. (D .ih C))) = (-u(*` S) x. (C .ih D))
19	8, 18	opreq12i 4031	. . . 4 |- (((normh` C)^2) + -u(*` (S x. (D .ih C)))) = ((C .ih C) + (-u(*` S) x. (C .ih D)))
20	1	normcli 9081	. . . . . . 7 |- (normh` C) e. RR
21	20	resqcli 6712	. . . . . 6 |- ((normh` C)^2) e. RR
22	21	recni 5379	. . . . 5 |- ((normh` C)^2) e. CC
23	2, 9	mulcli 5386	. . . . . 6 |- (S x. (D .ih C)) e. CC
24	23	cjcli 6857	. . . . 5 |- (*` (S x. (D .ih C))) e. CC
25	22, 24	negsubi 5446	. . . 4 |- (((normh` C)^2) + -u(*` (S x. (D .ih C)))) = (((normh` C)^2) - (*` (S x. (D .ih C))))
26	19, 25	eqtr3i 1544	. . 3 |- ((C .ih C) + (-u(*` S) x. (C .ih D))) = (((normh` C)^2) - (*` (S x. (D .ih C))))
27	2, 9	mulneg1i 5510	. . . . 5 |- (-uS x. (D .ih C)) = -u(S x. (D .ih C))
28	27	opreq1i 4029	. . . 4 |- ((-uS x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D))) = (-u(S x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D)))
29	23	negcli 5434	. . . . 5 |- -u(S x. (D .ih C)) e. CC
30	2	cjmulrcli 6881	. . . . . . 7 |- (S x. (*` S)) e. RR
31	30	recni 5379	. . . . . 6 |- (S x. (*` S)) e. CC
32	3, 3	hicli 9031	. . . . . 6 |- (D .ih D) e. CC
33	31, 32	mulcli 5386	. . . . 5 |- ((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) e. CC
34	29, 33	addcomi 5387	. . . 4 |- (-u(S x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D))) = (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) + -u(S x. (D .ih C)))
35	33, 23	negsubi 5446	. . . 4 |- (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) + -u(S x. (D .ih C))) = (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) - (S x. (D .ih C)))
36	28, 34, 35	3eqtri 1546	. . 3 |- ((-uS x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D))) = (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) - (S x. (D .ih C)))
37	26, 36	opreq12i 4031	. 2 |- (((C .ih C) + (-u(*` S) x. (C .ih D))) + ((-uS x. (D .ih C)) + ((S x. (*` S)) x. (D .ih D)))) = ((((normh` C)^2) - (*` (S x. (D .ih C)))) + (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) - (S x. (D .ih C))))
38	6, 7, 37	3eqtri 1546	1 |- ((normh` (C -h (S .h D)))^2) = ((((normh` C)^2) - (*` (S x. (D .ih C)))) + (((S x. (*` S)) x. (D .ih D)) - (S x. (D .ih C))))

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297   + caddc 5302   x. cmul 5304   - cmin 5357  -ucneg 5358  2c2 6022  ^cexp 6657  *ccj 6839  H~chil 8871   .h csm 8873   -h cmv 8875   .ih csp 8876  normhcno 8877

This theorem is referenced by:  pjthlem8 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687  ax-hfvadd 8953  ax-hv0cl 8956  ax-hfvmul 8958  ax-hvmulass 8960  ax-hvmul0 8963  ax-hfi 9029  ax-his1 9032  ax-his2 9033  ax-his3 9034  ax-his4 9035

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-hnorm 8920  df-hvsub 8923

Copyright terms: Public domain