Theorem pjthlem14 10865

Description: Lemma for pjthi 10866.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem14.1	|- A e. ~H
pjthlem14.2	|- H e. CH
pjthlem14.3	|- B e. H
pjthlem14.4	|- C = (A -h B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem14	|- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,z,y,A   z,B,x,y   z,C,x,y   z,H,x,y

Proof of Theorem pjthlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> (C .ih x) = (C .ih if(x e. H, x, 0h)))
2	1	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((C .ih x) = 0 <-> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0))
3	2	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0) <-> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)))
4		pjthlem14.1	. . . . . . 7 |- A e. ~H
5		pjthlem14.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
6		pjthlem14.3	. . . . . . 7 |- B e. H
7		ch0 10731	. . . . . . . . 9 |- (H e. CH -> 0h e. H)
8	5, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 0h e. H
9	8	elimel 3025	. . . . . . 7 |- if(x e. H, x, 0h) e. H
10		pjthlem14.4	. . . . . . 7 |- C = (A -h B)
11	4, 5, 6, 9, 10	pjthlem13 10864	. . . . . 6 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)
12	3, 11	dedth 3011	. . . . 5 |- (x e. H -> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0))
13	12	com12 14	. . . 4 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (x e. H -> (C .ih x) = 0))
14	13	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> A.x e. H (C .ih x) = 0)
15	5	chshii 10730	. . . . 5 |- H e. SH
16		shocel 10788	. . . . 5 |- (H e. SH -> (C e. (_|_` H) <-> (C e. ~H /\ A.x e. H (C .ih x) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (C e. (_|_` H) <-> (C e. ~H /\ A.x e. H (C .ih x) = 0))
18	5, 6	chelii 10736	. . . . . 6 |- B e. ~H
19	4, 18	hvsubcli 10523	. . . . 5 |- (A -h B) e. ~H
20	10, 19	eqeltri 1967	. . . 4 |- C e. ~H
21	17, 20	mpbiran 798	. . 3 |- (C e. (_|_` H) <-> A.x e. H (C .ih x) = 0)
22	14, 21	sylibr 217	. 2 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> C e. (_|_` H))
23	4, 18	hvsubvali 10522	. . . . 5 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
24	23	opreq2i 4893	. . . 4 |- (B +h (A -h B)) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
25	10	opreq2i 4893	. . . 4 |- (B +h C) = (B +h (A -h B))
26	18	hvnegidi 10531	. . . . . 6 |- (B +h (-u1 .h B)) = 0h
27	26	opreq2i 4893	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (A +h 0h)
28		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
29	28	negcli 6526	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
30	29, 18	hvmulcli 10516	. . . . . 6 |- (-u1 .h B) e. ~H
31	4, 18, 30	hvadd12i 10556	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
32		ax-hvaddid 10506	. . . . . 6 |- (A e. ~H -> (A +h 0h) = A)
33	4, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A +h 0h) = A
34	27, 31, 33	3eqtr3ri 1920	. . . 4 |- A = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
35	24, 25, 34	3eqtr4ri 1923	. . 3 |- A = (B +h C)
36		rcla4eopr 4915	. . 3 |- ((B e. H /\ C e. (_|_` H) /\ A = (B +h C)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
37	6, 35, 36	mp3an13 1182	. 2 |- (C e. (_|_` H) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
38	22, 37	syl 12	1 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  ifcif 2982   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386  1c1 6387  -ucneg 6446   <_ cle 6448  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424   .ih csp 10425  normhcno 10426  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431

This theorem is referenced by:  pjthi 10866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757

Copyright terms: Public domain