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Theorem pjthlem1 19291
 Description: Lemma for pjth 19293. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v
pjthlem.n
pjthlem.p
pjthlem.m
pjthlem.h
pjthlem.l
pjthlem.1
pjthlem.2
pjthlem.4
pjthlem.5
pjthlem.7
pjthlem.8
Assertion
Ref Expression
pjthlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4
2 hlcph 19271 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 pjthlem.4 . . 3
5 pjthlem.2 . . . . 5
6 pjthlem.v . . . . . 6
7 pjthlem.l . . . . . 6
86, 7lssss 15968 . . . . 5
95, 8syl 16 . . . 4
10 pjthlem.5 . . . 4
119, 10sseldd 3309 . . 3
12 pjthlem.h . . . 4
136, 12cphipcl 19107 . . 3
143, 4, 11, 13syl3anc 1184 . 2
1514abscld 12193 . . . 4
1615recnd 9070 . . 3
1715resqcld 11504 . . . . . . 7
1817renegcld 9420 . . . . . 6
196, 12reipcl 19113 . . . . . . . 8
203, 11, 19syl2anc 643 . . . . . . 7
21 2re 10025 . . . . . . 7
22 readdcl 9029 . . . . . . 7
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . 6
24 0re 9047 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
26 peano2re 9195 . . . . . . . 8
2720, 26syl 16 . . . . . . 7
286, 12ipge0 19114 . . . . . . . . 9
293, 11, 28syl2anc 643 . . . . . . . 8
3020ltp1d 9897 . . . . . . . 8
3125, 20, 27, 29, 30lelttrd 9184 . . . . . . 7
3227ltp1d 9897 . . . . . . . 8
3320recnd 9070 . . . . . . . . . 10
34 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
35 addass 9033 . . . . . . . . . . 11
3634, 34, 35mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10
3733, 36syl 16 . . . . . . . . 9
38 df-2 10014 . . . . . . . . . 10
3938oveq2i 6051 . . . . . . . . 9
4037, 39syl6reqr 2455 . . . . . . . 8
4132, 40breqtrrd 4198 . . . . . . 7
4225, 27, 23, 31, 41lttrd 9187 . . . . . 6
43 cphlmod 19090 . . . . . . . . . . . . . 14
443, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
45 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14
46 hlphl 19272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
471, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
5048, 12, 6, 49ipcl 16819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
5147, 4, 11, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
5248, 49hlress 19275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
531, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
5453, 27sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
5520, 29ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15
5748, 49cphdivcl 19098 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar
583, 51, 54, 56, 57syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
5945, 58syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
6148, 60, 49, 7lssvscl 15986 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
6244, 5, 59, 10, 61syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
63 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12
64 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
6665breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13
6766rspcv 3008 . . . . . . . . . . . 12
6862, 63, 67sylc 58 . . . . . . . . . . 11
69 cphngp 19089 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
71 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14
726, 71nmcl 18615 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
7370, 4, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
746, 48, 60, 49lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
7544, 59, 11, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
76 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15
776, 76lmodvsubcl 15944 . . . . . . . . . . . . . 14
7844, 4, 75, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
796, 71nmcl 18615 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
8070, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
816, 71nmge0 18616 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
8270, 4, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
836, 71nmge0 18616 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
8470, 78, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
8573, 80, 82, 84le2sqd 11513 . . . . . . . . . . 11
8668, 85mpbid 202 . . . . . . . . . 10
8780resqcld 11504 . . . . . . . . . . 11
8873resqcld 11504 . . . . . . . . . . 11
8987, 88subge0d 9572 . . . . . . . . . 10
9086, 89mpbird 224 . . . . . . . . 9
91 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9355, 91, 92sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
9417, 93rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . . . . 14
9594, 23remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13
9695recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
9796negcld 9354 . . . . . . . . . . 11
986, 12cphipcl 19107 . . . . . . . . . . . 12
993, 4, 4, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
10097, 99pncand 9368 . . . . . . . . . 10
1016, 12, 71nmsq 19110 . . . . . . . . . . . . . 14
1023, 78, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
10312, 6, 76cphsubdir 19123 . . . . . . . . . . . . . 14
1043, 4, 75, 78, 103syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13
10512, 6, 76cphsubdi 19124 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1063, 4, 4, 75, 105syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14
1086, 12cphipcl 19107 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1093, 4, 75, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
11012, 6, 76cphsubdi 19124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1113, 75, 4, 75, 110syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1126, 12cphipcl 19107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1133, 75, 4, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1146, 12cphipcl 19107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1153, 75, 75, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116113, 115subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117111, 116eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15
11899, 109, 117subsub4d 9398 . . . . . . . . . . . . . 14
11994recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12027recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122119, 120, 121adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12340oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12412, 6, 48, 49, 60cphassr 19127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Scalar
1253, 59, 4, 11, 124syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12614, 120, 56divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12745, 126syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128127cjcld 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129128, 14mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13014cjcld 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13114, 130, 120, 56divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13214absvalsqd 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133132oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13445fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13514, 120, 56cjdivd 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13627cjred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
137136oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
138135, 137eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
139134, 138syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
140139oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141131, 133, 1403eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142125, 129, 1413eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14317recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144143, 120mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145120sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146144, 145oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147143, 120, 120, 56, 56divcan5d 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148146, 147eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14993rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15093rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151143, 120, 149, 150div23d 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152142, 148, 1513eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15394, 27remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
154152, 153eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155154cjred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15612, 6cphipcj 19115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1573, 4, 75, 156syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158155, 157, 1523eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15912, 6, 48, 49, 60cph2ass 19128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Scalar Scalar
1603, 59, 59, 11, 11, 159syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16145fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16214, 120, 56absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16355rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
16427, 163absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
165164oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
166162, 165eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
167161, 166syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
168167oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169127absvalsqd 12199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
17016, 120, 56sqdivd 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
171168, 169, 1703eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172171oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173160, 172eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174158, 173oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175 pncan2 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17633, 34, 175sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
177176oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178119, 120, 33subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
179177, 178eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180174, 111, 1793eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181152, 180oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182122, 123, 1813eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15
183182oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
184107, 118, 1833eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13
185102, 104, 1843eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12
18699, 96negsubd 9373 . . . . . . . . . . . 12
18799, 97addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12
188185, 186, 1873eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11
1896, 12, 71nmsq 19110 . . . . . . . . . . . 12
1903, 4, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
191188, 190oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
19223renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . 13
193192recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
194143, 193, 149, 150div23d 9783 . . . . . . . . . . 11
19523recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
196119, 195mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . 11
197194, 196eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
198100, 191, 1973eqtr4rd 2447 . . . . . . . . 9
19990, 198breqtrrd 4198 . . . . . . . 8
20017, 192remulcld 9072 . . . . . . . . 9
201200, 93ge0divd 10638 . . . . . . . 8
202199, 201mpbird 224 . . . . . . 7
203 mulneg12 9428 . . . . . . . 8
204143, 195, 203syl2anc 643 . . . . . . 7
205202, 204breqtrrd 4198 . . . . . 6
206 prodge02 9814 . . . . . 6
20718, 23, 42, 205, 206syl22anc 1185 . . . . 5
20817le0neg1d 9554 . . . . 5
209207, 208mpbird 224 . . . 4
21015sqge0d 11505 . . . 4
211 letri3 9116 . . . . 5
21217, 24, 211sylancl 644 . . . 4
213209, 210, 212mpbir2and 889 . . 3
21416, 213sqeq0d 11477 . 2
21514, 214abs00d 12203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666   wss 3280   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cneg 9248   cdiv 9633  c2 10005  cz 10238  crp 10568  cexp 11337  ccj 11856  cabs 11994  cbs 13424   cplusg 13484  Scalarcsca 13487  cvsca 13488  cip 13489  csg 14643  clmod 15905  clss 15963  cphl 16810  cnm 18577  NrmGrpcngp 18578  ccph 19082  chl 19240 This theorem is referenced by:  pjthlem2  19292 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-flim 17924  df-fcls 17926  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nlm 18587  df-cncf 18861  df-clm 19041  df-cph 19084  df-cfil 19161  df-cmet 19163  df-cms 19241  df-bn 19242  df-hl 19243
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