MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Unicode version

Theorem pjth 18635
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjth.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjth.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjth.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjth.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
pjth  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )

Proof of Theorem pjth
StepHypRef Expression
1 hlphl 18614 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
213ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
3 phllmod 16366 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  LMod )
5 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  L )
6 pjth.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjth.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15529 . . . . . 6  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
983ad2ant2 982 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  V )
10 pjth.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ocv `  W
)
116, 10, 7ocvlss 16404 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
122, 9, 11syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( O `  U )  e.  L )
13 pjth.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
147, 13lsmcl 15671 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L  /\  ( O `  U )  e.  L )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
154, 5, 12, 14syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L )
166, 7lssss 15529 . . 3  |-  ( ( U  .(+)  ( O `  U ) )  e.  L  ->  ( U  .(+) 
( O `  U
) )  C_  V
)
1715, 16syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  C_  V )
18 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
19 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
20 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
21 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
22 simpl1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CHil )
23 simpl2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  L )
24 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
25 pjth.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
26 simpl3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 18634 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
2827ex 425 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( U  .(+) 
( O `  U
) ) ) )
2928ssrdv 3106 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  V  C_  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
3017, 29eqssd 3117 1  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  .(+)  ( O `  U ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   .icip 13087   TopOpenctopn 13200   -gcsg 14200   LSSumclsm 14780   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   PreHilcphl 16360   ocvcocv 16392   Clsdccld 16585   normcnm 17931   CHilchl 18588
This theorem is referenced by:  pjth2  18636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-ghm 14516  df-cntz 14628  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-staf 15445  df-srng 15446  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lmhm 15614  df-lvec 15691  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-phl 16362  df-ocv 16395  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-flim 17466  df-fcls 17468  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-nm 17937  df-ngp 17938  df-nlm 17941  df-cncf 18214  df-clm 18393  df-cph 18436  df-cfil 18513  df-cmet 18515  df-cms 18589  df-bn 18590  df-hl 18591
  Copyright terms: Public domain W3C validator