HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssposi Structured version   Unicode version

Theorem pjssposi 27228
Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjssposi  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  G  C_  H )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjssposi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
CH
21pjhcli 26474 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H )
3 normcl 26180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  e.  RR )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  e.  RR )
54resqcld 12257 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  e.  RR )
6 pjco.1 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
CH
76pjhcli 26474 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
8 normcl 26180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
109resqcld 12257 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) ) ^ 2 )  e.  RR )
115, 10subge0d 10077 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
121pjfi 26760 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
136pjfi 26760 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
14 hodval 26798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H ) : ~H --> ~H  /\  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  =  ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )
1512, 13, 14mp3an12 1312 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  =  ( ( (
proj h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
1615oveq1d 6229 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) 
.ih  x ) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
18 his2sub 26147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  .ih  x )  -  ( ( (
proj h `  G ) `
 x )  .ih  x ) ) )
192, 7, 17, 18syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  -h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  .ih  x )  -  ( ( (
proj h `  G ) `
 x )  .ih  x ) ) )
201pjinormi 26743 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  H ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x
) ) ^ 2 ) )
216pjinormi 26743 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  G ) `  x
)  .ih  x )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) )
2220, 21oveq12d 6232 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  .ih  x
)  -  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  .ih  x )
)  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) ) )
2316, 19, 223eqtrd 2437 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ^ 2 ) ) )
2423breq2d 4392 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) ) ^
2 ) ) ) )
25 normge0 26181 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
267, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) ) )
27 normge0 26181 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )
282, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )
299, 4, 26, 28le2sqd 12266 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ^ 2 ) ) )
3011, 24, 293bitr4d 285 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) ) )
3130ralbiia 2822 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )
326, 1pjnormssi 27224 . 2  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
3331, 32bitr4i 252 1  |-  ( A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  x
)  <->  G  C_  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742    C_ wss 3402   class class class wbr 4380   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   RRcr 9420   0cc0 9421    <_ cle 9558    - cmin 9736   2c2 10520   ^cexp 12088   ~Hchil 25974    .ih csp 25977   normhcno 25978    -h cmv 25980   CHcch 25984   proj hcpjh 25992    -op chod 25995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cc 8746  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501  ax-hilex 26054  ax-hfvadd 26055  ax-hvcom 26056  ax-hvass 26057  ax-hv0cl 26058  ax-hvaddid 26059  ax-hfvmul 26060  ax-hvmulid 26061  ax-hvmulass 26062  ax-hvdistr1 26063  ax-hvdistr2 26064  ax-hvmul0 26065  ax-hfi 26134  ax-his1 26137  ax-his2 26138  ax-his3 26139  ax-his4 26140  ax-hcompl 26257
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-omul 7071  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-acn 8254  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-seq 12030  df-exp 12089  df-hash 12327  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-lm 19835  df-haus 19921  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cfil 21798  df-cau 21799  df-cmet 21800  df-grpo 25331  df-gid 25332  df-ginv 25333  df-gdiv 25334  df-ablo 25422  df-subgo 25442  df-vc 25577  df-nv 25623  df-va 25626  df-ba 25627  df-sm 25628  df-0v 25629  df-vs 25630  df-nmcv 25631  df-ims 25632  df-dip 25749  df-ssp 25773  df-ph 25866  df-cbn 25917  df-hnorm 26023  df-hba 26024  df-hvsub 26026  df-hlim 26027  df-hcau 26028  df-sh 26262  df-ch 26277  df-oc 26308  df-ch0 26309  df-shs 26364  df-pjh 26451  df-hodif 26788
This theorem is referenced by:  pjordi  27229  pjssdif2i  27230  pjssdif1i  27231
  Copyright terms: Public domain W3C validator