Theorem pjssmii 11261

Description: Projection meet property. Remark in [Kalmbach] p. 66. Also Theorem 4.5(i)->(iv) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	|- H e. CH
pjidm.2	|- A e. ~H
pjsslem.1	|- G e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjssmii	|- (H C_ G -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A))

Proof of Theorem pjssmii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . . . . 8 |- H e. CH
2		pjidm.2	. . . . . . . 8 |- A e. ~H
3	1, 2	pjclii 10886	. . . . . . 7 |- ((proj` H)` A) e. H
4		ssel 2615	. . . . . . 7 |- (H C_ G -> (((proj` H)` A) e. H -> ((proj` H)` A) e. G))
5	3, 4	mpi 55	. . . . . 6 |- (H C_ G -> ((proj` H)` A) e. G)
6		pjsslem.1	. . . . . . 7 |- G e. CH
7	6, 2	pjclii 10886	. . . . . 6 |- ((proj` G)` A) e. G
8	5, 7	jctil 316	. . . . 5 |- (H C_ G -> (((proj` G)` A) e. G /\ ((proj` H)` A) e. G))
9	6	chshii 10730	. . . . . 6 |- G e. SH
10		shsubclOLD 10723	. . . . . 6 |- (G e. SH -> ((((proj` G)` A) e. G /\ ((proj` H)` A) e. G) -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((((proj` G)` A) e. G /\ ((proj` H)` A) e. G) -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G)
12	8, 11	syl 12	. . . 4 |- (H C_ G -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G)
13	1, 6	chsscon3i 11017	. . . . . 6 |- (H C_ G <-> (_|_` G) C_ (_|_` H))
14	6	choccli 10818	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` G) e. CH
15	14, 2	pjclii 10886	. . . . . . . . 9 |- ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` G)
16		ssel 2615	. . . . . . . . 9 |- ((_|_` G) C_ (_|_` H) -> (((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` G) -> ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)))
17	15, 16	mpi 55	. . . . . . . 8 |- ((_|_` G) C_ (_|_` H) -> ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H))
18	1	choccli 10818	. . . . . . . . 9 |- (_|_` H) e. CH
19	18, 2	pjclii 10886	. . . . . . . 8 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H)
20	17, 19	jctil 316	. . . . . . 7 |- ((_|_` G) C_ (_|_` H) -> (((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)))
21	18	chshii 10730	. . . . . . . 8 |- (_|_` H) e. SH
22		shsubclOLD 10723	. . . . . . . 8 |- ((_|_` H) e. SH -> ((((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)) -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H)))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)) -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
24	20, 23	syl 12	. . . . . 6 |- ((_|_` G) C_ (_|_` H) -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
25	13, 24	sylbi 216	. . . . 5 |- (H C_ G -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
26	1, 2, 6	pjsslem 11259	. . . . 5 |- (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) = (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))
27	25, 26	syl5eqelr 1976	. . . 4 |- (H C_ G -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H))
28	12, 27	jca 310	. . 3 |- (H C_ G -> ((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G /\ (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H)))
29		elin 2786	. . . 4 |- ((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (G i^i (_|_` H)) <-> ((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G /\ (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H)))
30	6, 18	chincli 11016	. . . . 5 |- (G i^i (_|_` H)) e. CH
31	6, 2	pjhclii 10887	. . . . . 6 |- ((proj` G)` A) e. ~H
32	1, 2	pjhclii 10887	. . . . . 6 |- ((proj` H)` A) e. ~H
33	31, 32	hvsubcli 10523	. . . . 5 |- (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. ~H
34	30, 33	pjchi 10898	. . . 4 |- ((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (G i^i (_|_` H)) <-> ((proj` (G i^i (_|_` H)))` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)))
35	29, 34	bitr3i 192	. . 3 |- (((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. G /\ (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H)) <-> ((proj` (G i^i (_|_` H)))` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)))
36	28, 35	sylib 215	. 2 |- (H C_ G -> ((proj` (G i^i (_|_` H)))` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)))
37	30, 31, 32	pjsubii 11258	. . 3 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = (((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) -h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)))
38	30, 31	pjhclii 10887	. . . 4 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) e. ~H
39	30, 32	pjhclii 10887	. . . 4 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)) e. ~H
40	38, 39	hvsubvali 10522	. . 3 |- (((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) -h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A))) = (((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) +h (-u1 .h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A))))
41		inss1 2812	. . . . . 6 |- (G i^i (_|_` H)) C_ G
42	30, 2, 6	pjss2i 11260	. . . . . 6 |- ((G i^i (_|_` H)) C_ G -> ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A))
43	41, 42	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A)
44	1	chshii 10730	. . . . . . . . . . 11 |- H e. SH
45		shococss 10800	. . . . . . . . . . 11 |- (H e. SH -> H C_ (_|_` (_|_` H)))
46	44, 45	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- H C_ (_|_` (_|_` H))
47		inss2 2813	. . . . . . . . . . 11 |- (G i^i (_|_` H)) C_ (_|_` H)
48	30, 18	chsscon3i 11017	. . . . . . . . . . 11 |- ((G i^i (_|_` H)) C_ (_|_` H) <-> (_|_` (_|_` H)) C_ (_|_` (G i^i (_|_` H))))
49	47, 48	mpbi 206	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` (_|_` H)) C_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
50	46, 49	sstri 2626	. . . . . . . . 9 |- H C_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
51	50, 3	sselii 2618	. . . . . . . 8 |- ((proj` H)` A) e. (_|_` (G i^i (_|_` H)))
52	30, 32	pjoc2i 10904	. . . . . . . 8 |- (((proj` H)` A) e. (_|_` (G i^i (_|_` H))) <-> ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)) = 0h)
53	51, 52	mpbi 206	. . . . . . 7 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)) = 0h
54	53	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- (-u1 .h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A))) = (-u1 .h 0h)
55		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
56	55	negcli 6526	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
57		hvmul0 10525	. . . . . . 7 |- (-u1 e. CC -> (-u1 .h 0h) = 0h)
58	56, 57	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (-u1 .h 0h) = 0h
59	54, 58	eqtri 1908	. . . . 5 |- (-u1 .h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A))) = 0h
60	43, 59	opreq12i 4894	. . . 4 |- (((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) +h (-u1 .h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)))) = (((proj` (G i^i (_|_` H)))` A) +h 0h)
61	30, 2	pjhclii 10887	. . . . 5 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A) e. ~H
62		ax-hvaddid 10506	. . . . 5 |- (((proj` (G i^i (_|_` H)))` A) e. ~H -> (((proj` (G i^i (_|_` H)))` A) +h 0h) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A))
63	61, 62	ax-mp 7	. . . 4 |- (((proj` (G i^i (_|_` H)))` A) +h 0h) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A)
64	60, 63	eqtri 1908	. . 3 |- (((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` G)` A)) +h (-u1 .h ((proj` (G i^i (_|_` H)))` ((proj` H)` A)))) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A)
65	37, 40, 64	3eqtri 1912	. 2 |- ((proj` (G i^i (_|_` H)))` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A)
66	36, 65	syl5reqr 1943	1 |- (H C_ G -> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) = ((proj` (G i^i (_|_` H)))` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  pjcji 11264  pjssmi 11737

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain