HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssdif1i Structured version   Unicode version

Theorem pjssdif1i 26867
Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 26864). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjssdif1i  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e. 
ran  proj h )

Proof of Theorem pjssdif1i
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . 3  |-  G  e. 
CH
2 pjco.2 . . 3  |-  H  e. 
CH
31, 2pjssdif2i 26866 . 2  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) ) )
4 pjmfn 26406 . . . . 5  |-  proj h  Fn 
CH
51choccli 25998 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
62, 5chincli 26151 . . . . 5  |-  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) )  e.  CH
7 fnfvelrn 6019 . . . . 5  |-  ( (
proj h  Fn  CH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) )  e.  CH )  -> 
( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  e.  ran  proj h )
84, 6, 7mp2an 672 . . . 4  |-  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  e. 
ran  proj h
9 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e. 
ran  proj h  <->  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  e.  ran  proj h ) )
108, 9mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  -> 
( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e.  ran  proj h )
11 fvelrnb 5915 . . . . . 6  |-  ( proj h  Fn  CH  ->  (
( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e.  ran  proj h  <->  E. x  e.  CH  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) ) )
124, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e.  ran  proj h  <->  E. x  e.  CH  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) )
13 pjige0 26382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( (
( proj h `  x ) `  y
)  .ih  y )
)
1413adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( ( ( proj h `  x ) `  y )  .ih  y
) )
15 fveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  x ) `  y
)  =  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) )
1615oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( ( proj h `  x ) `  y )  .ih  y
)  =  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) )
1716breq2d 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  -> 
( 0  <_  (
( ( proj h `  x ) `  y
)  .ih  y )  <->  0  <_  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) ) )
1817ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( (
( proj h `  x ) `  y
)  .ih  y )  <->  0  <_  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) ) )
1914, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y )  .ih  y
) )
2019ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( proj h `  x
)  =  ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) )  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) )
2120rexlimiva 2951 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  CH  ( proj h `  x )  =  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) )
2212, 21sylbi 195 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e.  ran  proj h  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y ) 
.ih  y ) )
231, 2pjssposi 26864 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y )  .ih  y
)  <->  G  C_  H )
2423, 3bitri 249 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) ) `  y )  .ih  y
)  <->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) ) )
2522, 24sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e.  ran  proj h  ->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) ) )
2610, 25impbii 188 . 2  |-  ( ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e. 
ran  proj h )
273, 26bitri 249 1  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  -op  ( proj h `  G ) )  e. 
ran  proj h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ran crn 5000    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493    <_ cle 9630   ~Hchil 25609    .ih csp 25612   CHcch 25619   _|_cort 25620   proj hcpjh 25627    -op chod 25630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hvcom 25691  ax-hvass 25692  ax-hv0cl 25693  ax-hvaddid 25694  ax-hfvmul 25695  ax-hvmulid 25696  ax-hvmulass 25697  ax-hvdistr1 25698  ax-hvdistr2 25699  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his1 25772  ax-his2 25773  ax-his3 25774  ax-his4 25775  ax-hcompl 25892
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-lm 19536  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-subgo 25077  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-vs 25265  df-nmcv 25266  df-ims 25267  df-dip 25384  df-ssp 25408  df-ph 25501  df-cbn 25552  df-hnorm 25658  df-hba 25659  df-hvsub 25661  df-hlim 25662  df-hcau 25663  df-sh 25897  df-ch 25912  df-oc 25943  df-ch0 25944  df-shs 25999  df-pjh 26086  df-hodif 26424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator