HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss2i Structured version   Unicode version

Theorem pjss2i 27275
Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1  |-  H  e. 
CH
pjidm.2  |-  A  e. 
~H
pjsslem.1  |-  G  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjss2i  |-  ( H 
C_  G  ->  (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  =  ( ( proj h `  H ) `  A
) )

Proof of Theorem pjss2i
StepHypRef Expression
1 pjidm.1 . . . . 5  |-  H  e. 
CH
21choccli 26902 . . . 4  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
3 pjidm.2 . . . 4  |-  A  e. 
~H
42, 3pjclii 27016 . . 3  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H )
5 pjsslem.1 . . . . 5  |-  G  e. 
CH
61, 5chsscon3i 27056 . . . 4  |-  ( H 
C_  G  <->  ( _|_ `  G )  C_  ( _|_ `  H ) )
75choccli 26902 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
87, 3pjclii 27016 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  G )
9 ssel 3401 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G ) 
C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( (
( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  G
)  ->  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H ) ) )
108, 9mpi 20 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  G ) 
C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H ) )
116, 10sylbi 198 . . 3  |-  ( H 
C_  G  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H
) )
122chshii 26822 . . . 4  |-  ( _|_ `  H )  e.  SH
13 shsubcl 26815 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  H
)  e.  SH  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H
)  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H ) )  ->  ( (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H
) )
1412, 13mp3an1 1347 . . 3  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H
)  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H ) )  ->  ( (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H
) )
154, 11, 14sylancr 667 . 2  |-  ( H 
C_  G  ->  (
( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H
) )
161, 3, 5pjsslem 27274 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  =  ( ( ( proj h `  G ) `  A )  -h  (
( proj h `  H ) `  A
) )
1716eleq1i 2497 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H
)  <->  ( ( (
proj h `  G ) `
 A )  -h  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  e.  ( _|_ `  H ) )
185, 3pjhclii 27017 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G ) `
 A )  e. 
~H
191, 3pjhclii 27017 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e. 
~H
2018, 19hvsubcli 26616 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) )  e.  ~H
211, 20pjoc2i 27033 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) )  e.  ( _|_ `  H
)  <->  ( ( proj h `  H ) `  ( ( ( proj h `  G ) `  A )  -h  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )  =  0h )
2217, 21bitri 252 . . 3  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H
)  <->  ( ( proj h `  H ) `  ( ( ( proj h `  G ) `  A )  -h  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )  =  0h )
231, 18, 19pjsubii 27273 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H ) `
 ( ( (
proj h `  G ) `
 A )  -h  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) )  =  ( ( ( proj h `  H ) `  ( ( proj h `  G ) `  A
) )  -h  (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
2423eqeq1i 2433 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  (
( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) )  =  0h  <->  ( (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  -h  (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )  =  0h )
251, 18pjhclii 27017 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H ) `
 ( ( proj h `  G ) `  A ) )  e. 
~H
261, 19pjhclii 27017 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H ) `
 ( ( proj h `  H ) `  A ) )  e. 
~H
2725, 26hvsubeq0i 26658 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  -h  (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )  =  0h  <->  ( ( proj h `  H ) `  ( ( proj h `  G ) `  A
) )  =  ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
2824, 27bitri 252 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  (
( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) )  =  0h  <->  ( ( proj h `  H ) `
 ( ( proj h `  G ) `  A ) )  =  ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
291, 3pjidmi 27268 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H ) `
 ( ( proj h `  H ) `  A ) )  =  ( ( proj h `  H ) `  A
)
3029eqeq2i 2440 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  =  ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  H ) `  A
) )  <->  ( ( proj h `  H ) `
 ( ( proj h `  G ) `  A ) )  =  ( ( proj h `  H ) `  A
) )
3122, 28, 303bitrri 275 . 2  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  =  ( ( proj h `  H ) `  A
)  <->  ( ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  -h  (
( proj h `  ( _|_ `  G ) ) `  A ) )  e.  ( _|_ `  H ) )
3215, 31sylibr 215 1  |-  ( H 
C_  G  ->  (
( proj h `  H ) `  (
( proj h `  G ) `  A
) )  =  ( ( proj h `  H ) `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    C_ wss 3379   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ~Hchil 26514   0hc0v 26519    -h cmv 26520   SHcsh 26523   CHcch 26524   _|_cort 26525   proj hcpjh 26532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570  ax-hilex 26594  ax-hfvadd 26595  ax-hvcom 26596  ax-hvass 26597  ax-hv0cl 26598  ax-hvaddid 26599  ax-hfvmul 26600  ax-hvmulid 26601  ax-hvmulass 26602  ax-hvdistr1 26603  ax-hvdistr2 26604  ax-hvmul0 26605  ax-hfi 26674  ax-his1 26677  ax-his2 26678  ax-his3 26679  ax-his4 26680  ax-hcompl 26797
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-lm 20187  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cfil 22167  df-cau 22168  df-cmet 22169  df-grpo 25861  df-gid 25862  df-ginv 25863  df-gdiv 25864  df-ablo 25952  df-subgo 25972  df-vc 26107  df-nv 26153  df-va 26156  df-ba 26157  df-sm 26158  df-0v 26159  df-vs 26160  df-nmcv 26161  df-ims 26162  df-dip 26279  df-ssp 26303  df-ph 26396  df-cbn 26447  df-hnorm 26563  df-hba 26564  df-hvsub 26566  df-hlim 26567  df-hcau 26568  df-sh 26802  df-ch 26816  df-oc 26847  df-ch0 26848  df-shs 26903  df-pjh 26990
This theorem is referenced by:  pjssmii  27276  pjss2coi  27759
  Copyright terms: Public domain W3C validator