HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjrni Structured version   Unicode version

Theorem pjrni 26411
Description: The range of a projection. Part of Theorem 26.2 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjfn.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjrni  |-  ran  ( proj h `  H )  =  H

Proof of Theorem pjrni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjfn.1 . . . . 5  |-  H  e. 
CH
21pjfni 26410 . . . 4  |-  ( proj h `  H )  Fn  ~H
31pjcli 26126 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  x
)  e.  H )
43rgen 2827 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  ( ( proj h `  H ) `  x )  e.  H
5 ffnfv 6057 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> H  <->  ( ( proj h `  H )  Fn  ~H  /\  A. x  e.  ~H  (
( proj h `  H ) `  x
)  e.  H ) )
62, 4, 5mpbir2an 918 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> H
7 frn 5742 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> H  ->  ran  ( proj h `  H )  C_  H
)
86, 7ax-mp 5 . 2  |-  ran  ( proj h `  H ) 
C_  H
9 pjid 26404 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
101, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
111cheli 25941 . . . . 5  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
12 fnfvelrn 6028 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  H )  Fn  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ran  ( proj h `  H ) )
132, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ran  ( proj h `  H ) )
1410, 13eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ran  ( proj h `  H ) )
1514ssriv 3513 . 2  |-  H  C_  ran  ( proj h `  H )
168, 15eqssi 3525 1  |-  ran  ( proj h `  H )  =  H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ran crn 5005    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593   ~Hchil 25627   CHcch 25637   proj hcpjh 25645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cc 8825  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582  ax-hilex 25707  ax-hfvadd 25708  ax-hvcom 25709  ax-hvass 25710  ax-hv0cl 25711  ax-hvaddid 25712  ax-hfvmul 25713  ax-hvmulid 25714  ax-hvmulass 25715  ax-hvdistr1 25716  ax-hvdistr2 25717  ax-hvmul0 25718  ax-hfi 25787  ax-his1 25790  ax-his2 25791  ax-his3 25792  ax-his4 25793  ax-hcompl 25910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-lm 19575  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cfil 21539  df-cau 21540  df-cmet 21541  df-grpo 24984  df-gid 24985  df-ginv 24986  df-gdiv 24987  df-ablo 25075  df-subgo 25095  df-vc 25230  df-nv 25276  df-va 25279  df-ba 25280  df-sm 25281  df-0v 25282  df-vs 25283  df-nmcv 25284  df-ims 25285  df-dip 25402  df-ssp 25426  df-ph 25519  df-cbn 25570  df-hnorm 25676  df-hba 25677  df-hvsub 25679  df-hlim 25680  df-hcau 25681  df-sh 25915  df-ch 25930  df-oc 25961  df-ch0 25962  df-shs 26017  df-pjh 26104
This theorem is referenced by:  pjfoi  26412  pjfi  26413  pj11i  26420  pjss1coi  26873  pjimai  26886  pj3i  26918
  Copyright terms: Public domain W3C validator