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Theorem pjpreeq 24801
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 24802 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 24796. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, A    x, B

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 24627 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 24687 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsel 24717 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
65biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
7 ocin 24699 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
9 pjhthmo 24705 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
12 reu5 2936 . . . . . . 7  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
13 df-rmo 2723 . . . . . . . 8  |-  ( E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) )
1413anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  /\  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) ) )
1512, 14bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) ) )
166, 11, 15sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
17 riotacl 6067 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  ->  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
19 eleq1 2503 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  ( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  e.  H  <->  B  e.  H ) )
2018, 19syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  B  e.  H )
)
2120pm4.71rd 635 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  =  B ) ) )
22 shsss 24716 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
231, 3, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
2423sselda 3356 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  A  e.  ~H )
25 pjhval 24800 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2624, 25syldan 470 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2726eqeq1d 2451 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
28 id 22 . . . 4  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  H )
29 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +h  x )  =  ( B  +h  x ) )
3029eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  ( y  +h  x )  <->  A  =  ( B  +h  x
) ) )
3130rexbidv 2736 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  <->  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) ) )
3231riota2 6075 . . . 4  |-  ( ( B  e.  H  /\  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3328, 16, 32syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  /\  B  e.  H )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3433pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) )  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) ) )
3521, 27, 343bitr4d 285 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254   E.wrex 2716   E!wreu 2717   E*wrmo 2718    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   ~Hchil 24321    +h cva 24322   SHcsh 24330   CHcch 24331   _|_cort 24332    +H cph 24333   0Hc0h 24337   proj hcpjh 24339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-hilex 24401  ax-hfvadd 24402  ax-hvcom 24403  ax-hvass 24404  ax-hv0cl 24405  ax-hvaddid 24406  ax-hfvmul 24407  ax-hvmulid 24408  ax-hvmulass 24409  ax-hvdistr1 24410  ax-hvdistr2 24411  ax-hvmul0 24412  ax-hfi 24481  ax-his2 24485  ax-his3 24486  ax-his4 24487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-grpo 23678  df-ablo 23769  df-hvsub 24373  df-sh 24609  df-ch 24624  df-oc 24655  df-ch0 24656  df-shs 24711  df-pjh 24798
This theorem is referenced by:  pjeq  24802  pjpjpre  24822  chscllem1  25040  chscllem2  25041  chscllem3  25042
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