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Theorem pjpreeq 27044
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 27045 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 27039. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, A    x, B

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 26870 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 26930 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsel 26960 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
51, 3, 4syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
65biimpa 487 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
7 ocin 26942 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
81, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
9 pjhthmo 26948 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
1110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
12 reu5 3007 . . . . . . 7  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
13 df-rmo 2744 . . . . . . . 8  |-  ( E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) )
1413anbi2i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  /\  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) ) )
1512, 14bitri 253 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) ) )
166, 11, 15sylanbrc 669 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
17 riotacl 6264 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  ->  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
1816, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
19 eleq1 2516 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  ( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  e.  H  <->  B  e.  H ) )
2018, 19syl5ibcom 224 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  B  e.  H )
)
2120pm4.71rd 640 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  =  B ) ) )
22 shsss 26959 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
231, 3, 22syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
2423sselda 3431 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  A  e.  ~H )
25 pjhval 27043 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2624, 25syldan 473 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2726eqeq1d 2452 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
28 id 22 . . . 4  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  H )
29 oveq1 6295 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +h  x )  =  ( B  +h  x ) )
3029eqeq2d 2460 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  ( y  +h  x )  <->  A  =  ( B  +h  x
) ) )
3130rexbidv 2900 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  <->  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) ) )
3231riota2 6272 . . . 4  |-  ( ( B  e.  H  /\  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3328, 16, 32syl2anr 481 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  /\  B  e.  H )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3433pm5.32da 646 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) )  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) ) )
3521, 27, 343bitr4d 289 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E*wmo 2299   E.wrex 2737   E!wreu 2738   E*wrmo 2739    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ` cfv 5581   iota_crio 6249  (class class class)co 6288   ~Hchil 26565    +h cva 26566   SHcsh 26574   CHcch 26575   _|_cort 26576    +H cph 26577   0Hc0h 26581   proj hcpjh 26583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-grpo 25912  df-ablo 26003  df-hvsub 26617  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-pjh 27041
This theorem is referenced by:  pjeq  27045  pjpjpre  27065  chscllem1  27283  chscllem2  27284  chscllem3  27285
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