Theorem pjpj0i 10888

Description: Decomposition of a vector into projections.

Hypotheses

Ref	Expression
pjcli.1	|- H e. CH
pjcli.2	|- A e. ~H

Assertion

Ref	Expression
pjpj0i	|- A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A))

Proof of Theorem pjpj0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2ex 2152	. . . 4 |- (E.x e. H E.y e. (_|_` H)(A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y)) <-> E.xE.y((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))))
2		reeanv 2249	. . . 4 |- (E.x e. H E.y e. (_|_` H)(A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y)) <-> (E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y)))
3	1, 2	bitr3i 192	. . 3 |- (E.xE.y((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) <-> (E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y)))
4		pjcli.1	. . . . . . . 8 |- H e. CH
5	4	choccli 10818	. . . . . . 7 |- (_|_` H) e. CH
6		pjcli.2	. . . . . . 7 |- A e. ~H
7		pjval 10872	. . . . . . 7 |- (((_|_` H) e. CH /\ A e. ~H) -> ((proj` (_|_` H))` A) = U.{y e. (_|_` H) | E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)})
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . . 6 |- ((proj` (_|_` H))` A) = U.{y e. (_|_` H) | E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)}
9	8	eqcomi 1888	. . . . 5 |- U.{y e. (_|_` H) | E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)} = ((proj` (_|_` H))` A)
10	5, 6	pjclii 10886	. . . . . 6 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H)
11	5	pjtheui 10868	. . . . . . 7 |- (A e. ~H -> E!y e. (_|_` H)E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x))
12	6, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E!y e. (_|_` H)E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)
13		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (y = ((proj` (_|_` H))` A) -> (y +h x) = (((proj` (_|_` H))` A) +h x))
14	13	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (y = ((proj` (_|_` H))` A) -> (A = (y +h x) <-> A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x)))
15	14	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (y = ((proj` (_|_` H))` A) -> (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x) <-> E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x)))
16	15	reuuni2 3811	. . . . . 6 |- ((((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ E!y e. (_|_` H)E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)) -> (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x) <-> U.{y e. (_|_` H) | E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)} = ((proj` (_|_` H))` A)))
17	10, 12, 16	mp2an 761	. . . . 5 |- (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x) <-> U.{y e. (_|_` H) | E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (y +h x)} = ((proj` (_|_` H))` A))
18	9, 17	mpbir 207	. . . 4 |- E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x)
19	4	ococi 10880	. . . . . 6 |- (_|_` (_|_` H)) = H
20		rexeq 2267	. . . . . 6 |- ((_|_` (_|_` H)) = H -> (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A))))
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)))
22	5	choccli 10818	. . . . . . . 8 |- (_|_` (_|_` H)) e. CH
23	22	cheli 10735	. . . . . . 7 |- (x e. (_|_` (_|_` H)) -> x e. ~H)
24	5, 6	pjhclii 10887	. . . . . . . . 9 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. ~H
25		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ~H /\ ((proj` (_|_` H))` A) e. ~H) -> (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) = (((proj` (_|_` H))` A) +h x))
26	24, 25	mpan2 760	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) = (((proj` (_|_` H))` A) +h x))
27	26	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x)))
28	23, 27	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. (_|_` (_|_` H)) -> (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x)))
29	28	rexbiia 2134	. . . . 5 |- (E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x))
30	21, 29	bitr3i 192	. . . 4 |- (E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> E.x e. (_|_` (_|_` H))A = (((proj` (_|_` H))` A) +h x))
31	18, 30	mpbir 207	. . 3 |- E.x e. H A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A))
32		pjval 10872	. . . . . 6 |- ((H e. CH /\ A e. ~H) -> ((proj` H)` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)})
33	4, 6, 32	mp2an 761	. . . . 5 |- ((proj` H)` A) = U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)}
34	33	eqcomi 1888	. . . 4 |- U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} = ((proj` H)` A)
35	4, 6	pjclii 10886	. . . . 5 |- ((proj` H)` A) e. H
36	4	pjtheui 10868	. . . . . 6 |- (A e. ~H -> E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
37	6, 36	ax-mp 7	. . . . 5 |- E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)
38		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (x = ((proj` H)` A) -> (x +h y) = (((proj` H)` A) +h y))
39	38	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (x = ((proj` H)` A) -> (A = (x +h y) <-> A = (((proj` H)` A) +h y)))
40	39	rexbidv 2124	. . . . . 6 |- (x = ((proj` H)` A) -> (E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) <-> E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y)))
41	40	reuuni2 3811	. . . . 5 |- ((((proj` H)` A) e. H /\ E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)) -> (E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y) <-> U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} = ((proj` H)` A)))
42	35, 37, 41	mp2an 761	. . . 4 |- (E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y) <-> U.{x e. H | E.y e. (_|_` H)A = (x +h y)} = ((proj` H)` A))
43	34, 42	mpbir 207	. . 3 |- E.y e. (_|_` H)A = (((proj` H)` A) +h y)
44	3, 31, 43	mpbir2an 800	. 2 |- E.xE.y((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y)))
45	4	chocunii 10805	. . . . . . 7 |- (((x e. H /\ ((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H)) /\ (((proj` H)` A) e. H /\ y e. (_|_` H))) -> ((A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y)) -> (x = ((proj` H)` A) /\ ((proj` (_|_` H))` A) = y)))
46	10	jctr 315	. . . . . . 7 |- (x e. H -> (x e. H /\ ((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H)))
47	35	jctl 314	. . . . . . 7 |- (y e. (_|_` H) -> (((proj` H)` A) e. H /\ y e. (_|_` H)))
48	45, 46, 47	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((x e. H /\ y e. (_|_` H)) -> ((A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y)) -> (x = ((proj` H)` A) /\ ((proj` (_|_` H))` A) = y)))
49	48	imp 377	. . . . 5 |- (((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) -> (x = ((proj` H)` A) /\ ((proj` (_|_` H))` A) = y))
50	49	simplld 348	. . . 4 |- (((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) -> x = ((proj` H)` A))
51		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = ((proj` H)` A) -> (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A)))
52	51	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (x = ((proj` H)` A) -> (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) <-> A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A))))
53	52	biimpcd 172	. . . . 5 |- (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) -> (x = ((proj` H)` A) -> A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A))))
54	53	ad2antrl 442	. . . 4 |- (((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) -> (x = ((proj` H)` A) -> A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A))))
55	50, 54	mpd 29	. . 3 |- (((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) -> A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A)))
56	55	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.xE.y((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h ((proj` (_|_` H))` A)) /\ A = (((proj` H)` A) +h y))) -> A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A)))
57	44, 56	ax-mp 7	1 |- A = (((proj` H)` A) +h ((proj` (_|_` H))` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108  U.cuni 3177  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  axpjpj 10889  pjpji 10890

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain