HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoc1i Structured version   Unicode version

Theorem pjoc1i 24779
Description: Projection of a vector in the orthocomplement of the projection subspace. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjop.1  |-  H  e. 
CH
pjop.2  |-  A  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
pjoc1i  |-  ( A  e.  H  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )

Proof of Theorem pjoc1i
StepHypRef Expression
1 pjop.1 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
CH
2 pjop.2 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
~H
31, 2pjopi 24777 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  ( A  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) )
41chshii 24575 . . . . . . . 8  |-  H  e.  SH
51, 2pjclii 24769 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e.  H
6 shsubcl 24568 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  H )  ->  ( A  -h  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  e.  H
)
74, 5, 6mp3an13 1305 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  H  ->  ( A  -h  ( ( proj h `  H ) `  A ) )  e.  H )
83, 7syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( A  e.  H  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  H )
91choccli 24655 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
109, 2pjclii 24769 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H )
118, 10jctir 538 . . . . 5  |-  ( A  e.  H  ->  (
( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  H  /\  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H
) ) )
12 elin 3532 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H ) )  <->  ( ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  H  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( _|_ `  H
) ) )
1311, 12sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  e.  H  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H ) ) )
14 ocin 24644 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
154, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H
1613, 15syl6eleq 2527 . . 3  |-  ( A  e.  H  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  0H )
17 elch0 24602 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  0H  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
1816, 17sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  H  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
191, 2pjpji 24772 . . . . 5  |-  A  =  ( ( ( proj h `  H ) `  A )  +h  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )
20 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  ->  (
( ( proj h `  H ) `  A
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  ( ( ( proj h `  H ) `  A )  +h  0h ) )
2119, 20syl5eq 2481 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  ->  A  =  ( ( (
proj h `  H ) `
 A )  +h 
0h ) )
221, 2pjhclii 24770 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e. 
~H
23 ax-hvaddid 24351 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  ->  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  +h  0h )  =  ( ( proj h `  H ) `  A ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  +h  0h )  =  ( ( proj h `  H ) `  A )
2521, 24syl6eq 2485 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  ->  A  =  ( ( proj h `  H ) `  A ) )
2625, 5syl6eqel 2525 . 2  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  ->  A  e.  H )
2718, 26impbii 188 1  |-  ( A  e.  H  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3320   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   ~Hchil 24266    +h cva 24267   0hc0v 24271    -h cmv 24272   SHcsh 24275   CHcch 24276   _|_cort 24277   0Hc0h 24282   proj hcpjh 24284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24346  ax-hfvadd 24347  ax-hvcom 24348  ax-hvass 24349  ax-hv0cl 24350  ax-hvaddid 24351  ax-hfvmul 24352  ax-hvmulid 24353  ax-hvmulass 24354  ax-hvdistr1 24355  ax-hvdistr2 24356  ax-hvmul0 24357  ax-hfi 24426  ax-his1 24429  ax-his2 24430  ax-his3 24431  ax-his4 24432  ax-hcompl 24549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-lm 18802  df-haus 18888  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cfil 20735  df-cau 20736  df-cmet 20737  df-grpo 23623  df-gid 23624  df-ginv 23625  df-gdiv 23626  df-ablo 23714  df-subgo 23734  df-vc 23869  df-nv 23915  df-va 23918  df-ba 23919  df-sm 23920  df-0v 23921  df-vs 23922  df-nmcv 23923  df-ims 23924  df-dip 24041  df-ssp 24065  df-ph 24158  df-cbn 24209  df-hnorm 24315  df-hba 24316  df-hvsub 24318  df-hlim 24319  df-hcau 24320  df-sh 24554  df-ch 24569  df-oc 24600  df-ch0 24601  df-shs 24656  df-pjh 24743
This theorem is referenced by:  pjchi  24780  pjoc1  24782  pjoc2i  24786  pjneli  25071
  Copyright terms: Public domain W3C validator