HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Unicode version

Theorem pjnormssi 27804
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnormssi  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
2 pjco.1 . . . . . . 7  |-  G  e. 
CH
31, 2pjssmi 27801 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  (
( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) )  =  ( ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x ) ) )
41, 2pjssge0i 27802 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  -h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  ( ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) ) `  x )  ->  0  <_  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  -h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
53, 4syld 45 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
61, 2pjdifnormi 27803 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) ) )
75, 6sylibd 217 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ) )
87com12 32 . . 3  |-  ( G 
C_  H  ->  (
x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ) )
98ralrimiv 2837 . 2  |-  ( G 
C_  H  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
101choccli 26943 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1110cheli 26868 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ~H )
12 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  <-> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  0 ) )
1312biimpac 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
0 )
142pjhcli 27054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
15 normge0 26762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) ) )
17 normcl 26761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
19 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
20 letri3 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) ) ) ) )
2120biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2218, 19, 21sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2316, 22sylan2i 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 ) )
2423anabsi6 825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  0 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2513, 24sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0 ) )  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 )
2625expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  =  0  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 ) )
271pjhcli 27054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H )
28 norm-i 26765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
30 pjoc2 27075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H )  <-> 
( ( proj h `  H ) `  x
)  =  0h )
)
311, 30mpan 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
3229, 31bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
3332adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  =  0  <-> 
x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
34 norm-i 26765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
36 pjoc2 27075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  G )  <-> 
( ( proj h `  G ) `  x
)  =  0h )
)
372, 36mpan 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  G )  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3835, 37bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
3938adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0  <-> 
x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4026, 33, 393imtr3d 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4140ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G
) ) ) )
4241a2i 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4311, 42syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4443pm2.43d 50 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4544alimi 1680 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
46 df-ral 2780 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  <->  A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) ) )
47 dfss2 3453 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  H ) 
C_  ( _|_ `  G
)  <->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4845, 46, 473imtr4i 269 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  ->  ( _|_ `  H
)  C_  ( _|_ `  G ) )
492, 1chsscon3i 27097 . . 3  |-  ( G 
C_  H  <->  ( _|_ `  H )  C_  ( _|_ `  G ) )
5048, 49sylibr 215 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  ->  G  C_  H
)
519, 50impbii 190 1  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    i^i cin 3435    C_ wss 3436   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539    <_ cle 9676   ~Hchil 26555    .ih csp 26558   normhcno 26559   0hc0v 26560    -h cmv 26561   CHcch 26565   _|_cort 26566   proj hcpjh 26573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26635  ax-hfvadd 26636  ax-hvcom 26637  ax-hvass 26638  ax-hv0cl 26639  ax-hvaddid 26640  ax-hfvmul 26641  ax-hvmulid 26642  ax-hvmulass 26643  ax-hvdistr1 26644  ax-hvdistr2 26645  ax-hvmul0 26646  ax-hfi 26715  ax-his1 26718  ax-his2 26719  ax-his3 26720  ax-his4 26721  ax-hcompl 26838
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-lm 20229  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cfil 22209  df-cau 22210  df-cmet 22211  df-grpo 25902  df-gid 25903  df-ginv 25904  df-gdiv 25905  df-ablo 25993  df-subgo 26013  df-vc 26148  df-nv 26194  df-va 26197  df-ba 26198  df-sm 26199  df-0v 26200  df-vs 26201  df-nmcv 26202  df-ims 26203  df-dip 26320  df-ssp 26344  df-ph 26437  df-cbn 26488  df-hnorm 26604  df-hba 26605  df-hvsub 26607  df-hlim 26608  df-hcau 26609  df-sh 26843  df-ch 26857  df-oc 26888  df-ch0 26889  df-shs 26944  df-pjh 27031
This theorem is referenced by:  pjssposi  27808
  Copyright terms: Public domain W3C validator