HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Unicode version

Theorem pjnormssi 26791
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnormssi  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
2 pjco.1 . . . . . . 7  |-  G  e. 
CH
31, 2pjssmi 26788 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  (
( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) )  =  ( ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x ) ) )
41, 2pjssge0i 26789 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  -h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  ( ( proj h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) ) `  x )  ->  0  <_  (
( ( ( proj h `  H ) `  x )  -h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
53, 4syld 44 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  0  <_  ( ( ( (
proj h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
61, 2pjdifnormi 26790 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) ) )
75, 6sylibd 214 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ) )
87com12 31 . . 3  |-  ( G 
C_  H  ->  (
x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) ) )
98ralrimiv 2876 . 2  |-  ( G 
C_  H  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
101choccli 25929 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1110cheli 25854 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ~H )
12 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  <-> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  0 ) )
1312biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
0 )
142pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
15 normge0 25747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) ) )
17 normcl 25746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
19 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
20 letri3 9670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) ) ) ) )
2120biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2218, 19, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2316, 22sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 ) )
2423anabsi6 816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  0 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2513, 24sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0 ) )  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 )
2625expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  =  0  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0 ) )
271pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H )
28 norm-i 25750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  x
)  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
30 pjoc2 26061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H )  <-> 
( ( proj h `  H ) `  x
)  =  0h )
)
311, 30mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  <->  ( ( proj h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
3229, 31bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  =  0  <-> 
x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
34 norm-i 25750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3514, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
36 pjoc2 26061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  G )  <-> 
( ( proj h `  G ) `  x
)  =  0h )
)
372, 36mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  G )  <->  ( ( proj h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3835, 37bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  =  0  <-> 
x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4026, 33, 393imtr3d 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) ) )  -> 
( x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4140ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  x
) )  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G
) ) ) )
4241a2i 13 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4311, 42syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4443pm2.43d 48 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4544alimi 1614 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
46 df-ral 2819 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  <->  A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) ) )
47 dfss2 3493 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  H ) 
C_  ( _|_ `  G
)  <->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4845, 46, 473imtr4i 266 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  ->  ( _|_ `  H
)  C_  ( _|_ `  G ) )
492, 1chsscon3i 26083 . . 3  |-  ( G 
C_  H  <->  ( _|_ `  H )  C_  ( _|_ `  G ) )
5048, 49sylibr 212 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 x ) )  ->  G  C_  H
)
519, 50impbii 188 1  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492    <_ cle 9629   ~Hchil 25540    .ih csp 25543   normhcno 25544   0hc0v 25545    -h cmv 25546   CHcch 25550   _|_cort 25551   proj hcpjh 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-pjh 26017
This theorem is referenced by:  pjssposi  26795
  Copyright terms: Public domain W3C validator