Theorem pjnmopi 27882

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 |- H e. CH
2	1	pjfi 27438	. . 3 |- ( proj h ` H ) : ~H --> ~H
3		nmopval 27590	. . 3 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		vex 3034	. . . . . 6 |- z e. _V
6		eqeq1 2475	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 718	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 2892	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
9	5, 8	elab 3173	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
10		pjnorm 27458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
11	1, 10	mpan 684	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
12	1	pjhcli 27152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H )
13		normcl 26859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
15		normcl 26859	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
16		1re 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
17		letr 9745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
18	16, 17	mp3an3 1379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
20	11, 19	mpand 689	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
21	20	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 )
22		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
23	22	biimparc 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
24	21, 23	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
25	24	expl 630	. . . . . 6 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimiv 2867	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
27	9, 26	sylbi 200	. . . 4 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 )
28	27	rgen 2766	. . 3 |- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1
29	1	cheli 26966	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30	29	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H )
31	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR )
32		eqle 9754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
33	31, 32	sylan 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
34		pjid 27429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
35	1, 34	mpan 684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
36	35	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
38		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 )
39	37, 38	eqtr2d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) )
40	30, 33, 39	jca32 544	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
41	40	reximi2 2851	. . . . . . 7 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
42	1	chne0i 27187	. . . . . . . 8 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h )
43	1	chshii 26961	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
44	43	norm1exi 26984	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
45	42, 44	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
46		1ex 9656	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
47		eqeq1 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
48	47	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 2892	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
50	46, 49	elab 3173	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
51	41, 45, 50	3imtr4i 274	. . . . . 6 |- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } )
52		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
53	52	rspcev 3136	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
54	51, 53	sylan 479	. . . . 5 |- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
55	54	ex 441	. . . 4 |- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
56	55	ralrimivw 2810	. . 3 |- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
57		nmopsetretHIL 27598	. . . . . 6 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR )
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR
59		ressxr 9702	. . . . 5 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 3427	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR*
61	16	rexri 9711	. . . 4 |- 1 e. RR*
62		supxr2 11624	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	60, 61, 62	mpanl12 696	. . 3 |- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
64	28, 56, 63	sylancr 676	. 2 |- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
65	4, 64	syl5eq 2517	1 |- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589   supcsup 7972   RRcr 9556   1c1 9558   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   ~Hchil 26653   normhcno 26657   0hc0v 26658   CHcch 26663   0Hc0h 26669   proj hcpjh 26671   normopcnop 26679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637  ax-hilex 26733  ax-hfvadd 26734  ax-hvcom 26735  ax-hvass 26736  ax-hv0cl 26737  ax-hvaddid 26738  ax-hfvmul 26739  ax-hvmulid 26740  ax-hvmulass 26741  ax-hvdistr1 26742  ax-hvdistr2 26743  ax-hvmul0 26744  ax-hfi 26813  ax-his1 26816  ax-his2 26817  ax-his3 26818  ax-his4 26819  ax-hcompl 26936

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-subgo 26111  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-dip 26418  df-ssp 26442  df-ph 26535  df-cbn 26586  df-hnorm 26702  df-hba 26703  df-hvsub 26705  df-hlim 26706  df-hcau 26707  df-sh 26941  df-ch 26955  df-oc 26986  df-ch0 26987  df-shs 27042  df-pjh 27129  df-nmop 27573

This theorem is referenced by:  pjbdlni  27883