Theorem pjnmopi 27480

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 |- H e. CH
2	1	pjfi 27036	. . 3 |- ( proj h ` H ) : ~H --> ~H
3		nmopval 27188	. . 3 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		vex 3062	. . . . . 6 |- z e. _V
6		eqeq1 2406	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 702	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 2918	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
9	5, 8	elab 3196	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
10		pjnorm 27056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
11	1, 10	mpan 668	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
12	1	pjhcli 26750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H )
13		normcl 26456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
15		normcl 26456	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
16		1re 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
17		letr 9709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
18	16, 17	mp3an3 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
20	11, 19	mpand 673	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
21	20	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 )
22		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
23	22	biimparc 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
24	21, 23	sylan 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
25	24	expl 616	. . . . . 6 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimiv 2890	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
27	9, 26	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 )
28	27	rgen 2764	. . 3 |- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1
29	1	cheli 26564	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30	29	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H )
31	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR )
32		eqle 9718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
33	31, 32	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
34		pjid 27027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
35	1, 34	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
36	35	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
38		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 )
39	37, 38	eqtr2d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) )
40	30, 33, 39	jca32 533	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
41	40	reximi2 2871	. . . . . . 7 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
42	1	chne0i 26785	. . . . . . . 8 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h )
43	1	chshii 26559	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
44	43	norm1exi 26582	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
45	42, 44	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
46		1ex 9621	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
47		eqeq1 2406	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
48	47	anbi2d 702	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 2918	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
50	46, 49	elab 3196	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
51	41, 45, 50	3imtr4i 266	. . . . . 6 |- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } )
52		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
53	52	rspcev 3160	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
54	51, 53	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
55	54	ex 432	. . . 4 |- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
56	55	ralrimivw 2819	. . 3 |- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
57		nmopsetretHIL 27196	. . . . . 6 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR )
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR
59		ressxr 9667	. . . . 5 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 3451	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR*
61	16	rexri 9676	. . . 4 |- 1 e. RR*
62		supxr2 11558	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	60, 61, 62	mpanl12 680	. . 3 |- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
64	28, 56, 63	sylancr 661	. 2 |- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
65	4, 64	syl5eq 2455	1 |- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {cab 2387   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   C_ wss 3414   class class class wbr 4395   -->wf 5565   ` cfv 5569   supcsup 7934   RRcr 9521   1c1 9523   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   ~Hchil 26250   normhcno 26254   0hc0v 26255   CHcch 26260   0Hc0h 26266   proj hcpjh 26268   normopcnop 26276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416  ax-hcompl 26533

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-lm 20023  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cfil 21986  df-cau 21987  df-cmet 21988  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-subgo 25718  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-dip 26025  df-ssp 26049  df-ph 26142  df-cbn 26193  df-hnorm 26299  df-hba 26300  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-hcau 26304  df-sh 26538  df-ch 26553  df-oc 26584  df-ch0 26585  df-shs 26640  df-pjh 26727  df-nmop 27171

This theorem is referenced by:  pjbdlni  27481