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Theorem pjnmopi 26593
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 26148 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 26301 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 3109 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2966 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 3243 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 26168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 25862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H )
13 normcl 25568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 25568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 9584 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  ->  (
z  <_  1  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2322biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2421, 23sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2524expl 618 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2942 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 195 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2817 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 25676 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 26139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
3635fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2924 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 25897 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 25671 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 25694 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 9580 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2966 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 3243 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4444 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 434 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2872 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 26309 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 9626 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3506 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
6116rexri 9635 . . . 4  |-  1  e.  RR*
62 supxr2 11494 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6360, 61, 62mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6428, 56, 63sylancr 663 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
654, 64syl5eq 2513 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579   supcsup 7889   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   ~Hchil 25362   normhcno 25366   0hc0v 25367   CHcch 25372   0Hc0h 25378   proj hcpjh 25380   normopcnop 25388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25442  ax-hfvadd 25443  ax-hvcom 25444  ax-hvass 25445  ax-hv0cl 25446  ax-hvaddid 25447  ax-hfvmul 25448  ax-hvmulid 25449  ax-hvmulass 25450  ax-hvdistr1 25451  ax-hvdistr2 25452  ax-hvmul0 25453  ax-hfi 25522  ax-his1 25525  ax-his2 25526  ax-his3 25527  ax-his4 25528  ax-hcompl 25645
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424  df-grpo 24719  df-gid 24720  df-ginv 24721  df-gdiv 24722  df-ablo 24810  df-subgo 24830  df-vc 24965  df-nv 25011  df-va 25014  df-ba 25015  df-sm 25016  df-0v 25017  df-vs 25018  df-nmcv 25019  df-ims 25020  df-dip 25137  df-ssp 25161  df-ph 25254  df-cbn 25305  df-hnorm 25411  df-hba 25412  df-hvsub 25414  df-hlim 25415  df-hcau 25416  df-sh 25650  df-ch 25665  df-oc 25696  df-ch0 25697  df-shs 25752  df-pjh 25839  df-nmop 26284
This theorem is referenced by:  pjbdlni  26594
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