HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Unicode version

Theorem pjnmopi 22558
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 22131 . . 3  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 22266 . . 3  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj  h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 2730 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2259 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2528 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 2851 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 22151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H )
13 normcl 21534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 21534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 8717 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 8794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  1 ) )
2322biimparc 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2421, 23sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2524expl 604 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2623 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 189 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2570 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 21642 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 8803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 22122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  =  y )
3635fveq2d 5381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2611 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 21862 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 21637 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 21659 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 8713 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2259 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2528 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 2851 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 259 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 3924 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rcla4ev 2821 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 425 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2589 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 22274 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 10 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 8756 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3109 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
61 rexr 8757 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6216, 61ax-mp 10 . . . 4  |-  1  e.  RR*
63 supxr2 10510 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6460, 62, 63mpanl12 666 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6528, 56, 64sylancr 647 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
664, 65syl5eq 2297 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592   supcsup 7077   RRcr 8616   1c1 8618   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748   ~Hchil 21329   normhcno 21333   0hc0v 21334   CHcch 21339   0Hc0h 21345   proj 
hcpjh 21347   normopcnop 21355
This theorem is referenced by:  pjbdlni  22559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-pjh 21804  df-nmop 22249
  Copyright terms: Public domain W3C validator