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Theorem pjnmopi 27794
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 27350 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 27502 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 3047 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 709 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2900 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 3184 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 27370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 27064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H )
13 normcl 26771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 26771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 680 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  ->  (
z  <_  1  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2322biimparc 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2421, 23sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2524expl 623 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2872 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 199 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2746 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 26878 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 9733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 27341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
3635fveq2d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 538 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2853 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 27099 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 26873 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 26896 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 9635 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2900 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 3184 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 270 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4405 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 3149 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 436 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2802 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 27510 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 9681 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3440 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
6116rexri 9690 . . . 4  |-  1  e.  RR*
62 supxr2 11596 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6360, 61, 62mpanl12 687 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6428, 56, 63sylancr 668 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
654, 64syl5eq 2496 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3403   class class class wbr 4401   -->wf 5577   ` cfv 5581   supcsup 7951   RRcr 9535   1c1 9537   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   ~Hchil 26565   normhcno 26569   0hc0v 26570   CHcch 26575   0Hc0h 26581   proj hcpjh 26583   normopcnop 26591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-pjh 27041  df-nmop 27485
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