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Theorem pjnmopi 27882
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 27438 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 27590 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 3034 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 718 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 3173 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 27458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 27152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H )
13 normcl 26859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 26859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 689 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  ->  (
z  <_  1  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2322biimparc 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2421, 23sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2524expl 630 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2867 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 200 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2766 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 26966 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 27429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 544 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2851 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 27187 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 26961 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 26984 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 3173 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 274 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 441 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2810 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 27598 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 9702 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3427 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
6116rexri 9711 . . . 4  |-  1  e.  RR*
62 supxr2 11624 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6360, 61, 62mpanl12 696 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6428, 56, 63sylancr 676 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
654, 64syl5eq 2517 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589   supcsup 7972   RRcr 9556   1c1 9558   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   ~Hchil 26653   normhcno 26657   0hc0v 26658   CHcch 26663   0Hc0h 26669   proj hcpjh 26671   normopcnop 26679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637  ax-hilex 26733  ax-hfvadd 26734  ax-hvcom 26735  ax-hvass 26736  ax-hv0cl 26737  ax-hvaddid 26738  ax-hfvmul 26739  ax-hvmulid 26740  ax-hvmulass 26741  ax-hvdistr1 26742  ax-hvdistr2 26743  ax-hvmul0 26744  ax-hfi 26813  ax-his1 26816  ax-his2 26817  ax-his3 26818  ax-his4 26819  ax-hcompl 26936
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-subgo 26111  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-dip 26418  df-ssp 26442  df-ph 26535  df-cbn 26586  df-hnorm 26702  df-hba 26703  df-hvsub 26705  df-hlim 26706  df-hcau 26707  df-sh 26941  df-ch 26955  df-oc 26986  df-ch0 26987  df-shs 27042  df-pjh 27129  df-nmop 27573
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