Theorem pjnmopi 25689

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 |- H e. CH
2	1	pjfi 25244	. . 3 |- ( proj h ` H ) : ~H --> ~H
3		nmopval 25397	. . 3 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		vex 3073	. . . . . 6 |- z e. _V
6		eqeq1 2455	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 703	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 2848	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
9	5, 8	elab 3205	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
10		pjnorm 25264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
11	1, 10	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
12	1	pjhcli 24958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H )
13		normcl 24664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
15		normcl 24664	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
16		1re 9488	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
17		letr 9571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
18	16, 17	mp3an3 1304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
20	11, 19	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
21	20	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 )
22		breq1 4395	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
23	22	biimparc 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
24	21, 23	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
25	24	expl 618	. . . . . 6 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimiv 2933	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
27	9, 26	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 )
28	27	rgen 2891	. . 3 |- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1
29	1	cheli 24772	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H )
31	29, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR )
32		eqle 9580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
33	31, 32	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
34		pjid 25235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
35	1, 34	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
36	35	fveq2d 5795	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
38		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 )
39	37, 38	eqtr2d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) )
40	30, 33, 39	jca32 535	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
41	40	reximi2 2920	. . . . . . 7 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
42	1	chne0i 24993	. . . . . . . 8 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h )
43	1	chshii 24767	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
44	43	norm1exi 24790	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
45	42, 44	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
46		1ex 9484	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
47		eqeq1 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
48	47	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 2848	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
50	46, 49	elab 3205	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
51	41, 45, 50	3imtr4i 266	. . . . . 6 |- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } )
52		breq2 4396	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
53	52	rspcev 3171	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
54	51, 53	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
55	54	ex 434	. . . 4 |- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
56	55	ralrimivw 2823	. . 3 |- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
57		nmopsetretHIL 25405	. . . . . 6 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR )
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR
59		ressxr 9530	. . . . 5 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 3465	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR*
61	16	rexri 9539	. . . 4 |- 1 e. RR*
62		supxr2 11379	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	60, 61, 62	mpanl12 682	. . 3 |- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
64	28, 56, 63	sylancr 663	. 2 |- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
65	4, 64	syl5eq 2504	1 |- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   C_ wss 3428   class class class wbr 4392   -->wf 5514   ` cfv 5518   supcsup 7793   RRcr 9384   1c1 9386   RR*cxr 9520   < clt 9521   <_ cle 9522   ~Hchil 24458   normhcno 24462   0hc0v 24463   CHcch 24468   0Hc0h 24474   proj hcpjh 24476   normopcnop 24484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465  ax-hilex 24538  ax-hfvadd 24539  ax-hvcom 24540  ax-hvass 24541  ax-hv0cl 24542  ax-hvaddid 24543  ax-hfvmul 24544  ax-hvmulid 24545  ax-hvmulass 24546  ax-hvdistr1 24547  ax-hvdistr2 24548  ax-hvmul0 24549  ax-hfi 24618  ax-his1 24621  ax-his2 24622  ax-his3 24623  ax-his4 24624  ax-hcompl 24741

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-lm 18951  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cfil 20884  df-cau 20885  df-cmet 20886  df-grpo 23815  df-gid 23816  df-ginv 23817  df-gdiv 23818  df-ablo 23906  df-subgo 23926  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-vs 24114  df-nmcv 24115  df-ims 24116  df-dip 24233  df-ssp 24257  df-ph 24350  df-cbn 24401  df-hnorm 24507  df-hba 24508  df-hvsub 24510  df-hlim 24511  df-hcau 24512  df-sh 24746  df-ch 24761  df-oc 24792  df-ch0 24793  df-shs 24848  df-pjh 24935  df-nmop 25380

This theorem is referenced by:  pjbdlni  25690