Theorem pjnmopi 11719

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43.

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- (H =/= 0H -> (normop` (proj` H)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (w = 1 -> (z < w <-> z < 1))
2	1	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} /\ z < 1) -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w)
3		pjhmop.1	. . . . . . . . . . . 12 |- H e. CH
4	3	cheli 10735	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. H -> y e. ~H)
5	4	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> y e. ~H)
6		eqle 6746	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` y) e. RR /\ (normh` y) = 1) -> (normh` y) <_ 1)
7		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. RR)
8	4, 7	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. H -> (normh` y) e. RR)
9	6, 8	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> (normh` y) <_ 1)
10		pjid 11275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((H e. CH /\ y e. H) -> ((proj` H)` y) = y)
11	3, 10	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. H -> ((proj` H)` y) = y)
12	11	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. H -> (normh` ((proj` H)` y)) = (normh` y))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> (normh` ((proj` H)` y)) = (normh` y))
14		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> (normh` y) = 1)
15	13, 14	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> 1 = (normh` ((proj` H)` y)))
16	9, 15	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y))))
17	5, 16	jca 310	. . . . . . . . 9 |- ((y e. H /\ (normh` y) = 1) -> (y e. ~H /\ ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y)))))
18	17	reximi2 2197	. . . . . . . 8 |- (E.y e. H (normh` y) = 1 -> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y))))
19	3	chne0i 11009	. . . . . . . . 9 |- (H =/= 0H <-> E.y e. H y =/= 0h)
20	3	chshii 10730	. . . . . . . . . 10 |- H e. SH
21	20	norm1exi 10755	. . . . . . . . 9 |- (E.y e. H y =/= 0h <-> E.y e. H (normh` y) = 1)
22	19, 21	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (H =/= 0H <-> E.y e. H (normh` y) = 1)
23		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
24	23	elisseti 2301	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
25		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = 1 -> (x = (normh` ((proj` H)` y)) <-> 1 = (normh` ((proj` H)` y))))
26	25	anbi2d 678	. . . . . . . . . 10 |- (x = 1 -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y)))))
27	26	rexbidv 2124	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y)))))
28	24, 27	elab 2403	. . . . . . . 8 |- (1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ 1 = (normh` ((proj` H)` y))))
29	18, 22, 28	3imtr4i 236	. . . . . . 7 |- (H =/= 0H -> 1 e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))})
30	2, 29	sylan 497	. . . . . 6 |- ((H =/= 0H /\ z < 1) -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w)
31	30	ex 402	. . . . 5 |- (H =/= 0H -> (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w))
32	31	a1d 15	. . . 4 |- (H =/= 0H -> (z e. RR -> (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w)))
33	32	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (H =/= 0H -> A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w))
34		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
35		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x = (normh` ((proj` H)` y)) <-> z = (normh` ((proj` H)` y))))
36	35	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y)))))
37	36	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (x = z -> (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y))) <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y)))))
38	34, 37	elab 2403	. . . . . 6 |- (z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} <-> E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y))))
39		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (z = (normh` ((proj` H)` y)) -> (z <_ 1 <-> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1))
40	39	biimparc 463	. . . . . . . . 9 |- (((normh` ((proj` H)` y)) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y))) -> z <_ 1)
41		pjnorm 11304	. . . . . . . . . . . 12 |- ((H e. CH /\ y e. ~H) -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ (normh` y))
42	3, 41	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ~H -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ (normh` y))
43	3	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ~H -> ((proj` H)` y) e. ~H)
44		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((proj` H)` y) e. ~H -> (normh` ((proj` H)` y)) e. RR)
45	43, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ~H -> (normh` ((proj` H)` y)) e. RR)
46		letr 6695	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((normh` ((proj` H)` y)) e. RR /\ (normh` y) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((normh` ((proj` H)` y)) <_ (normh` y) /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1))
47	23, 46	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . 12 |- (((normh` ((proj` H)` y)) e. RR /\ (normh` y) e. RR) -> (((normh` ((proj` H)` y)) <_ (normh` y) /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1))
48	45, 7, 47	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ~H -> (((normh` ((proj` H)` y)) <_ (normh` y) /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1))
49	42, 48	mpand 765	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ~H -> ((normh` y) <_ 1 -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1))
50	49	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) -> (normh` ((proj` H)` y)) <_ 1)
51	40, 50	sylan 497	. . . . . . . 8 |- (((y e. ~H /\ (normh` y) <_ 1) /\ z = (normh` ((proj` H)` y))) -> z <_ 1)
52	51	expl 420	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> (((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y))) -> z <_ 1))
53	52	r19.23aiv 2211	. . . . . 6 |- (E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ z = (normh` ((proj` H)` y))) -> z <_ 1)
54	38, 53	sylbi 216	. . . . 5 |- (z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} -> z <_ 1)
55	54	rgen 2159	. . . 4 |- A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z <_ 1
56	3	pjfi 11284	. . . . . . 7 |- (proj` H):~H-->~H
57		nmopsetretHIL 11428	. . . . . . 7 |- ((proj` H):~H-->~H -> {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} C_ RR)
58	56, 57	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} C_ RR
59		ressxr 6667	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 2626	. . . . 5 |- {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} C_ RR*
61		rexr 6668	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> 1 e. RR*)
62	23, 61	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1 e. RR*
63		supxr2 7291	. . . . 5 |- ((({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))} C_ RR* /\ 1 e. RR*) /\ (A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z <_ 1 /\ A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w))) -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < ) = 1)
64	60, 62, 63	mpanl12 773	. . . 4 |- ((A.z e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z <_ 1 /\ A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w)) -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < ) = 1)
65	55, 64	mpan 759	. . 3 |- (A.z e. RR (z < 1 -> E.w e. {x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}z < w) -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < ) = 1)
66	33, 65	syl 12	. 2 |- (H =/= 0H -> sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < ) = 1)
67		nmopval 11419	. . 3 |- ((proj` H):~H-->~H -> (normop` (proj` H)) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < ))
68	56, 67	ax-mp 7	. 2 |- (normop` (proj` H)) = sup({x | E.y e. ~H ((normh` y) <_ 1 /\ x = (normh` ((proj` H)` y)))}, RR*, < )
69	66, 68	syl5eq 1940	1 |- (H =/= 0H -> (normop` (proj` H)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  supcsup 5663  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  normhcno 10426  CHcch 10430  0Hc0h 10436  projcpj 10438  norm_opcnop 10446

This theorem is referenced by:  pjbdlni 11720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-nmop 11402

Copyright terms: Public domain