Theorem pjnmopi 23604

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 |- H e. CH
2	1	pjfi 23159	. . 3 |- ( proj h ` H ) : ~H --> ~H
3		nmopval 23312	. . 3 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	ax-mp 8	. 2 |- ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		vex 2919	. . . . . 6 |- z e. _V
6		eqeq1 2410	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 685	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
9	5, 8	elab 3042	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
10		pjnorm 23179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
11	1, 10	mpan 652	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
12	1	pjhcli 22873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H )
13		normcl 22580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
15		normcl 22580	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
16		1re 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
17		letr 9123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
18	16, 17	mp3an3 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
20	11, 19	mpand 657	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
21	20	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 )
22		breq1 4175	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
23	22	biimparc 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
24	21, 23	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
25	24	expl 602	. . . . . 6 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimiv 2784	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
27	9, 26	sylbi 188	. . . 4 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 )
28	27	rgen 2731	. . 3 |- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1
29	1	cheli 22688	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H )
31	29, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR )
32		eqle 9132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
33	31, 32	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
34		pjid 23150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
35	1, 34	mpan 652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
36	35	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
38		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 )
39	37, 38	eqtr2d 2437	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) )
40	30, 33, 39	jca32 522	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
41	40	reximi2 2772	. . . . . . 7 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
42	1	chne0i 22908	. . . . . . . 8 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h )
43	1	chshii 22683	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
44	43	norm1exi 22705	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
45	42, 44	bitri 241	. . . . . . 7 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
46		1ex 9042	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
47		eqeq1 2410	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
48	47	anbi2d 685	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
50	46, 49	elab 3042	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
51	41, 45, 50	3imtr4i 258	. . . . . 6 |- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } )
52		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
53	52	rspcev 3012	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
54	51, 53	sylan 458	. . . . 5 |- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
55	54	ex 424	. . . 4 |- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
56	55	ralrimivw 2750	. . 3 |- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
57		nmopsetretHIL 23320	. . . . . 6 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR )
58	2, 57	ax-mp 8	. . . . 5 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR
59		ressxr 9085	. . . . 5 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 3317	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR*
61	16	rexri 9093	. . . 4 |- 1 e. RR*
62		supxr2 10848	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	60, 61, 62	mpanl12 664	. . 3 |- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
64	28, 56, 63	sylancr 645	. 2 |- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
65	4, 64	syl5eq 2448	1 |- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413   supcsup 7403   RRcr 8945   1c1 8947   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   ~Hchil 22375   normhcno 22379   0hc0v 22380   CHcch 22385   0Hc0h 22391   proj hcpjh 22393   normopcnop 22401

This theorem is referenced by:  pjbdlni  23605

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-pjh 22850  df-nmop 23295