Theorem pjnmopi 26593

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 |- H e. CH
2	1	pjfi 26148	. . 3 |- ( proj h ` H ) : ~H --> ~H
3		nmopval 26301	. . 3 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( normop ` ( proj h ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < )
5		vex 3109	. . . . . 6 |- z e. _V
6		eqeq1 2464	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 703	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 2966	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
9	5, 8	elab 3243	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
10		pjnorm 26168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
11	1, 10	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) )
12	1	pjhcli 25862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H )
13		normcl 25568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( proj h ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR )
15		normcl 25568	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
16		1re 9584	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
17		letr 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
18	16, 17	mp3an3 1308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
19	14, 15, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
20	11, 19	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
21	20	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 )
22		breq1 4443	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) )
23	22	biimparc 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
24	21, 23	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
25	24	expl 618	. . . . . 6 |- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimiv 2942	. . . . 5 |- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 )
27	9, 26	sylbi 195	. . . 4 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 )
28	27	rgen 2817	. . 3 |- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1
29	1	cheli 25676	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> y e. ~H )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H )
31	29, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR )
32		eqle 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
33	31, 32	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 )
34		pjid 26139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
35	1, 34	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. H -> ( ( proj h ` H ) ` y ) = y )
36	35	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. H -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) )
38		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 )
39	37, 38	eqtr2d 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) )
40	30, 33, 39	jca32 535	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
41	40	reximi2 2924	. . . . . . 7 |- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
42	1	chne0i 25897	. . . . . . . 8 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h )
43	1	chshii 25671	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
44	43	norm1exi 25694	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
45	42, 44	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 )
46		1ex 9580	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
47		eqeq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
48	47	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 2966	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) ) )
50	46, 49	elab 3243	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) )
51	41, 45, 50	3imtr4i 266	. . . . . 6 |- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } )
52		breq2 4444	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
53	52	rspcev 3207	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
54	51, 53	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w )
55	54	ex 434	. . . 4 |- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
56	55	ralrimivw 2872	. . 3 |- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) )
57		nmopsetretHIL 26309	. . . . . 6 |- ( ( proj h ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR )
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR
59		ressxr 9626	. . . . 5 |- RR C_ RR*
60	58, 59	sstri 3506	. . . 4 |- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR*
61	16	rexri 9635	. . . 4 |- 1 e. RR*
62		supxr2 11494	. . . 4 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	60, 61, 62	mpanl12 682	. . 3 |- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
64	28, 56, 63	sylancr 663	. 2 |- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( proj h ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
65	4, 64	syl5eq 2513	1 |- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( proj h ` H ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2445   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579   supcsup 7889   RRcr 9480   1c1 9482   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   ~Hchil 25362   normhcno 25366   0hc0v 25367   CHcch 25372   0Hc0h 25378   proj hcpjh 25380   normopcnop 25388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25442  ax-hfvadd 25443  ax-hvcom 25444  ax-hvass 25445  ax-hv0cl 25446  ax-hvaddid 25447  ax-hfvmul 25448  ax-hvmulid 25449  ax-hvmulass 25450  ax-hvdistr1 25451  ax-hvdistr2 25452  ax-hvmul0 25453  ax-hfi 25522  ax-his1 25525  ax-his2 25526  ax-his3 25527  ax-his4 25528  ax-hcompl 25645

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424  df-grpo 24719  df-gid 24720  df-ginv 24721  df-gdiv 24722  df-ablo 24810  df-subgo 24830  df-vc 24965  df-nv 25011  df-va 25014  df-ba 25015  df-sm 25016  df-0v 25017  df-vs 25018  df-nmcv 25019  df-ims 25020  df-dip 25137  df-ssp 25161  df-ph 25254  df-cbn 25305  df-hnorm 25411  df-hba 25412  df-hvsub 25414  df-hlim 25415  df-hcau 25416  df-sh 25650  df-ch 25665  df-oc 25696  df-ch0 25697  df-shs 25752  df-pjh 25839  df-nmop 26284

This theorem is referenced by:  pjbdlni  26594