HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Structured version   Unicode version

Theorem pjnmopi 27480
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 27036 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 27188 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 3062 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2406 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 702 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 3196 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 27056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 26750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H )
13 normcl 26456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 26456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 9709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 673 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  ->  (
z  <_  1  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2322biimparc 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2421, 23sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2524expl 616 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2890 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 195 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2764 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 26564 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 27027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
3635fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 533 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2871 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 26785 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 26559 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 26582 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 9621 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 3196 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 3160 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 432 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2819 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 27196 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 9667 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3451 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
6116rexri 9676 . . . 4  |-  1  e.  RR*
62 supxr2 11558 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6360, 61, 62mpanl12 680 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6428, 56, 63sylancr 661 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
654, 64syl5eq 2455 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   -->wf 5565   ` cfv 5569   supcsup 7934   RRcr 9521   1c1 9523   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   ~Hchil 26250   normhcno 26254   0hc0v 26255   CHcch 26260   0Hc0h 26266   proj hcpjh 26268   normopcnop 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416  ax-hcompl 26533
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-lm 20023  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cfil 21986  df-cau 21987  df-cmet 21988  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-subgo 25718  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-dip 26025  df-ssp 26049  df-ph 26142  df-cbn 26193  df-hnorm 26299  df-hba 26300  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-hcau 26304  df-sh 26538  df-ch 26553  df-oc 26584  df-ch0 26585  df-shs 26640  df-pjh 26727  df-nmop 27171
This theorem is referenced by:  pjbdlni  27481
  Copyright terms: Public domain W3C validator