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Theorem pjnmopi 25689
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 25244 . . 3  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 25397 . . 3  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 3073 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2848 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 3205 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 25264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 24958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H )
13 normcl 24664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  y
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 24664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 9488 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 9571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4395 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) )  ->  (
z  <_  1  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2322biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2421, 23sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 )
2524expl 618 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2933 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 195 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2891 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 24772 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 9580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 25235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj h `  H ) `  y
)  =  y )
3635fveq2d 5795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2920 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 24993 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 24767 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 24790 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 9484 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 3205 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4396 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 3171 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 434 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2823 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 25405 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 9530 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3465 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
6116rexri 9539 . . . 4  |-  1  e.  RR*
62 supxr2 11379 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6360, 61, 62mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6428, 56, 63sylancr 663 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
654, 64syl5eq 2504 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3428   class class class wbr 4392   -->wf 5514   ` cfv 5518   supcsup 7793   RRcr 9384   1c1 9386   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522   ~Hchil 24458   normhcno 24462   0hc0v 24463   CHcch 24468   0Hc0h 24474   proj hcpjh 24476   normopcnop 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465  ax-hilex 24538  ax-hfvadd 24539  ax-hvcom 24540  ax-hvass 24541  ax-hv0cl 24542  ax-hvaddid 24543  ax-hfvmul 24544  ax-hvmulid 24545  ax-hvmulass 24546  ax-hvdistr1 24547  ax-hvdistr2 24548  ax-hvmul0 24549  ax-hfi 24618  ax-his1 24621  ax-his2 24622  ax-his3 24623  ax-his4 24624  ax-hcompl 24741
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-lm 18951  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cfil 20884  df-cau 20885  df-cmet 20886  df-grpo 23815  df-gid 23816  df-ginv 23817  df-gdiv 23818  df-ablo 23906  df-subgo 23926  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-vs 24114  df-nmcv 24115  df-ims 24116  df-dip 24233  df-ssp 24257  df-ph 24350  df-cbn 24401  df-hnorm 24507  df-hba 24508  df-hvsub 24510  df-hlim 24511  df-hcau 24512  df-sh 24746  df-ch 24761  df-oc 24792  df-ch0 24793  df-shs 24848  df-pjh 24935  df-nmop 25380
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