Theorem pjneli 11303

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm.

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	|- H e. CH
pjnorm.2	|- A e. ~H

Assertion

Ref	Expression
pjneli	|- (-. A e. H <-> (normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A))

Proof of Theorem pjneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 |- H e. CH
2		pjnorm.2	. . . 4 |- A e. ~H
3	1, 2	pjnormi 11301	. . 3 |- (normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A)
4	3	biantrur 794	. 2 |- ((normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A)) <-> ((normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A) /\ (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A))))
5	1, 2	pjoc1i 10897	. . . 4 |- (A e. H <-> ((proj` (_|_` H))` A) = 0h)
6	1, 2	pjhclii 10887	. . . . . . . . 9 |- ((proj` H)` A) e. ~H
7	6	normcli 10631	. . . . . . . 8 |- (normh` ((proj` H)` A)) e. RR
8	7	resqcli 7868	. . . . . . 7 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) e. RR
9	8	recni 6467	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) e. CC
10	1	choccli 10818	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` H) e. CH
11	10, 2	pjhclii 10887	. . . . . . . . 9 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. ~H
12	11	normcli 10631	. . . . . . . 8 |- (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) e. RR
13	12	resqcli 7868	. . . . . . 7 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) e. RR
14	13	recni 6467	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) e. CC
15		0cn 6481	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
16	15	sqcli 7860	. . . . . 6 |- (0^2) e. CC
17	9, 14, 16	addcani 6505	. . . . 5 |- ((((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)) <-> ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2))
18	1, 2	pjpythi 11302	. . . . . 6 |- ((normh` A)^2) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2))
19		sq0 7880	. . . . . . . 8 |- (0^2) = 0
20	19	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + 0)
21	9	addid1i 6483	. . . . . . 7 |- (((normh` ((proj` H)` A))^2) + 0) = ((normh` ((proj` H)` A))^2)
22	20, 21	eqtr2i 1909	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2))
23	18, 22	eqeq12i 1897	. . . . 5 |- (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)))
24		normge0 10625	. . . . . . . 8 |- (((proj` (_|_` H))` A) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A)))
25	11, 24	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A))
26		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
27	26	leidi 6790	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
28	12, 26	sq11i 7871	. . . . . . 7 |- ((0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) /\ 0 <_ 0) -> (((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2) <-> (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0))
29	25, 27, 28	mp2an 761	. . . . . 6 |- (((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2) <-> (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0)
30	11	norm-i.i 10633	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0 <-> ((proj` (_|_` H))` A) = 0h)
31	29, 30	bitr2i 191	. . . . 5 |- (((proj` (_|_` H))` A) = 0h <-> ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2))
32	17, 23, 31	3bitr4ri 201	. . . 4 |- (((proj` (_|_` H))` A) = 0h <-> ((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2))
33		normge0 10625	. . . . . 6 |- (A e. ~H -> 0 <_ (normh` A))
34	2, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (normh` A)
35		normge0 10625	. . . . . 6 |- (((proj` H)` A) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((proj` H)` A)))
36	6, 35	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (normh` ((proj` H)` A))
37	2	normcli 10631	. . . . . 6 |- (normh` A) e. RR
38	37, 7	sq11i 7871	. . . . 5 |- ((0 <_ (normh` A) /\ 0 <_ (normh` ((proj` H)` A))) -> (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A))))
39	34, 36, 38	mp2an 761	. . . 4 |- (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A)))
40	5, 32, 39	3bitri 194	. . 3 |- (A e. H <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A)))
41	40	necon3bbii 2031	. 2 |- (-. A e. H <-> (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A)))
42	7, 37	ltleni 6751	. 2 |- ((normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A) <-> ((normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A) /\ (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A))))
43	4, 41, 42	3bitr4i 200	1 |- (-. A e. H <-> (normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420  0hc0v 10423  normhcno 10426  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  pjnel 11306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

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