HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjneli Structured version   Unicode version

Theorem pjneli 27380
Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjnorm.1  |-  H  e. 
CH
pjnorm.2  |-  A  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
pjneli  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <  ( normh `  A ) )

Proof of Theorem pjneli
StepHypRef Expression
1 pjnorm.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
2 pjnorm.2 . . . 4  |-  A  e. 
~H
31, 2pjnormi 27378 . . 3  |-  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  A )
43biantrur 509 . 2  |-  ( (
normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  A )  /\  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ) )
51, 2pjoc1i 27088 . . . 4  |-  ( A  e.  H  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
61, 2pjpythi 27379 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  A ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )
7 sq0 12378 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
87oveq2i 6322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  0 )
91, 2pjhclii 27079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e. 
~H
109normcli 26788 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  e.  RR
1110resqcli 12372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
1211recni 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  e.  CC
1312addid1i 9833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )
148, 13eqtr2i 2453 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )
156, 14eqeq12i 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) ) )
161choccli 26964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1716, 2pjhclii 27079 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ~H
1817normcli 26788 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  e.  RR
1918resqcli 12372 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
2019recni 9668 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  e.  CC
21 0cn 9648 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2221sqcli 12367 . . . . . . 7  |-  ( 0 ^ 2 )  e.  CC
2312, 20, 22addcani 9839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
24 normge0 26783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) )
2517, 24ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )
26 0le0 10712 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
27 0re 9656 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2818, 27sq11i 12377 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  /\  0  <_ 
0 )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0 ) )
2925, 26, 28mp2an 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  =  ( 0 ^ 2 )  <-> 
( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0 )
3017norm-i-i 26790 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
3123, 29, 303bitri 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  <-> 
( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
3215, 31bitr2i 254 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  <->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 ) )
33 normge0 26783 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
342, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( normh `  A )
35 normge0 26783 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
369, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )
372normcli 26788 . . . . . 6  |-  ( normh `  A )  e.  RR
3837, 10sq11i 12377 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normh `  A )  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) )  ->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( normh `  A
)  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ) )
3934, 36, 38mp2an 677 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( normh `  A
)  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) )
405, 32, 393bitri 275 . . 3  |-  ( A  e.  H  <->  ( normh `  A )  =  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) )
4140necon3bbii 2686 . 2  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) )
4210, 37ltleni 9765 . 2  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) )  < 
( normh `  A )  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )  <_  ( normh `  A
)  /\  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ) )
434, 41, 423bitr4i 281 1  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <  ( normh `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1873    =/= wne 2619   class class class wbr 4429   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   0cc0 9552    + caddc 9555    < clt 9688    <_ cle 9689   2c2 10672   ^cexp 12284   ~Hchil 26576   normhcno 26580   0hc0v 26581   CHcch 26586   _|_cort 26587   proj hcpjh 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-inf2 8161  ax-cc 8878  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629  ax-pre-sup 9630  ax-addf 9631  ax-mulf 9632  ax-hilex 26656  ax-hfvadd 26657  ax-hvcom 26658  ax-hvass 26659  ax-hv0cl 26660  ax-hvaddid 26661  ax-hfvmul 26662  ax-hvmulid 26663  ax-hvmulass 26664  ax-hvdistr1 26665  ax-hvdistr2 26666  ax-hvmul0 26667  ax-hfi 26736  ax-his1 26739  ax-his2 26740  ax-his3 26741  ax-his4 26742  ax-hcompl 26859
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-iin 4308  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-se 4819  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-isom 5616  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-of 6551  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-supp 6932  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-2o 7200  df-oadd 7203  df-omul 7204  df-er 7380  df-map 7491  df-pm 7492  df-ixp 7540  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-fsupp 7899  df-fi 7940  df-sup 7971  df-inf 7972  df-oi 8040  df-card 8387  df-acn 8390  df-cda 8611  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-div 10283  df-nn 10623  df-2 10681  df-3 10682  df-4 10683  df-5 10684  df-6 10685  df-7 10686  df-8 10687  df-9 10688  df-10 10689  df-n0 10883  df-z 10951  df-dec 11065  df-uz 11173  df-q 11278  df-rp 11316  df-xneg 11422  df-xadd 11423  df-xmul 11424  df-ioo 11652  df-ico 11654  df-icc 11655  df-fz 11798  df-fzo 11929  df-fl 12040  df-seq 12226  df-exp 12285  df-hash 12528  df-cj 13168  df-re 13169  df-im 13170  df-sqrt 13304  df-abs 13305  df-clim 13557  df-rlim 13558  df-sum 13758  df-struct 15128  df-ndx 15129  df-slot 15130  df-base 15131  df-sets 15132  df-ress 15133  df-plusg 15208  df-mulr 15209  df-starv 15210  df-sca 15211  df-vsca 15212  df-ip 15213  df-tset 15214  df-ple 15215  df-ds 15217  df-unif 15218  df-hom 15219  df-cco 15220  df-rest 15326  df-topn 15327  df-0g 15345  df-gsum 15346  df-topgen 15347  df-pt 15348  df-prds 15351  df-xrs 15405  df-qtop 15411  df-imas 15412  df-xps 15415  df-mre 15497  df-mrc 15498  df-acs 15500  df-mgm 16493  df-sgrp 16532  df-mnd 16542  df-submnd 16588  df-mulg 16681  df-cntz 16976  df-cmn 17437  df-psmet 18967  df-xmet 18968  df-met 18969  df-bl 18970  df-mopn 18971  df-fbas 18972  df-fg 18973  df-cnfld 18976  df-top 19925  df-bases 19926  df-topon 19927  df-topsp 19928  df-cld 20038  df-ntr 20039  df-cls 20040  df-nei 20118  df-cn 20247  df-cnp 20248  df-lm 20249  df-haus 20335  df-tx 20581  df-hmeo 20774  df-fil 20865  df-fm 20957  df-flim 20958  df-flf 20959  df-xms 21339  df-ms 21340  df-tms 21341  df-cfil 22229  df-cau 22230  df-cmet 22231  df-grpo 25923  df-gid 25924  df-ginv 25925  df-gdiv 25926  df-ablo 26014  df-subgo 26034  df-vc 26169  df-nv 26215  df-va 26218  df-ba 26219  df-sm 26220  df-0v 26221  df-vs 26222  df-nmcv 26223  df-ims 26224  df-dip 26341  df-ssp 26365  df-ph 26458  df-cbn 26509  df-hnorm 26625  df-hba 26626  df-hvsub 26628  df-hlim 26629  df-hcau 26630  df-sh 26864  df-ch 26878  df-oc 26909  df-ch0 26910  df-shs 26965  df-pjh 27052
This theorem is referenced by:  pjnel  27383
  Copyright terms: Public domain W3C validator