HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjneli Structured version   Unicode version

Theorem pjneli 25045
Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjnorm.1  |-  H  e. 
CH
pjnorm.2  |-  A  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
pjneli  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <  ( normh `  A ) )

Proof of Theorem pjneli
StepHypRef Expression
1 pjnorm.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
2 pjnorm.2 . . . 4  |-  A  e. 
~H
31, 2pjnormi 25043 . . 3  |-  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  A )
43biantrur 503 . 2  |-  ( (
normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  A )  /\  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ) )
51, 2pjoc1i 24753 . . . 4  |-  ( A  e.  H  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
61, 2pjpythi 25044 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  A ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )
7 sq0 11953 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
87oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  0 )
91, 2pjhclii 24744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e. 
~H
109normcli 24452 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  e.  RR
1110resqcli 11947 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
1211recni 9394 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  e.  CC
1312addid1i 9552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )  +  0 )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )
148, 13eqtr2i 2462 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )
156, 14eqeq12i 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) ) )
161choccli 24629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1716, 2pjhclii 24744 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ~H
1817normcli 24452 . . . . . . . . 9  |-  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  e.  RR
1918resqcli 11947 . . . . . . . 8  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
2019recni 9394 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  e.  CC
21 0cn 9374 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2221sqcli 11942 . . . . . . 7  |-  ( 0 ^ 2 )  e.  CC
2312, 20, 22addcani 9558 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
24 normge0 24447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) )
2517, 24ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )
26 0le0 10407 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
27 0re 9382 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2818, 27sq11i 11952 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  /\  0  <_ 
0 )  ->  (
( ( normh `  (
( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0 ) )
2925, 26, 28mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 )  =  ( 0 ^ 2 )  <-> 
( normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0 )
3017norm-i-i 24454 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) )  =  0  <->  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
3123, 29, 303bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  +  ( 0 ^ 2 ) )  <-> 
( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h )
3215, 31bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) `  A )  =  0h  <->  ( ( normh `  A ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 ) )
33 normge0 24447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
342, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( normh `  A )
35 normge0 24447 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
369, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )
372normcli 24452 . . . . . 6  |-  ( normh `  A )  e.  RR
3837, 10sq11i 11952 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  ( normh `  A )  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) )  ->  ( (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( normh `  A
)  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ) )
3934, 36, 38mp2an 667 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <->  ( normh `  A
)  =  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) )
405, 32, 393bitri 271 . . 3  |-  ( A  e.  H  <->  ( normh `  A )  =  (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) )
4140necon3bbii 2637 . 2  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) )
4210, 37ltleni 9488 . 2  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) )  < 
( normh `  A )  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )  <_  ( normh `  A
)  /\  ( normh `  A )  =/=  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ) )
434, 41, 423bitr4i 277 1  |-  ( -.  A  e.  H  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <  ( normh `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415   2c2 10367   ^cexp 11861   ~Hchil 24240   normhcno 24244   0hc0v 24245   CHcch 24250   _|_cort 24251   proj hcpjh 24258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358  ax-hilex 24320  ax-hfvadd 24321  ax-hvcom 24322  ax-hvass 24323  ax-hv0cl 24324  ax-hvaddid 24325  ax-hfvmul 24326  ax-hvmulid 24327  ax-hvmulass 24328  ax-hvdistr1 24329  ax-hvdistr2 24330  ax-hvmul0 24331  ax-hfi 24400  ax-his1 24403  ax-his2 24404  ax-his3 24405  ax-his4 24406  ax-hcompl 24523
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-lm 18733  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cfil 20666  df-cau 20667  df-cmet 20668  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gdiv 23600  df-ablo 23688  df-subgo 23708  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-vs 23896  df-nmcv 23897  df-ims 23898  df-dip 24015  df-ssp 24039  df-ph 24132  df-cbn 24183  df-hnorm 24289  df-hba 24290  df-hvsub 24292  df-hlim 24293  df-hcau 24294  df-sh 24528  df-ch 24543  df-oc 24574  df-ch0 24575  df-shs 24630  df-pjh 24717
This theorem is referenced by:  pjnel  25048
  Copyright terms: Public domain W3C validator