Theorem pjmval 10871

Description: The value of the projection map.

Assertion

Ref	Expression
pjmval	|- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Distinct variable group:   x,w,y,z,H

Proof of Theorem pjmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (z e. h <-> z e. H))
2		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (h = H -> (_|_` h) = (_|_` H))
3	2	rexeqdv 2270	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (E.w e. (_|_` h)x = (z +h w) <-> E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)))
4	1, 3	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (h = H -> ((z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)) <-> (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))))
5	4	abbidv 2008	. . . . . . 7 |- (h = H -> {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))})
6		df-rab 2112	. . . . . . 7 |- {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))}
7		df-rab 2112	. . . . . . 7 |- {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))}
8	5, 6, 7	3eqtr4g 1953	. . . . . 6 |- (h = H -> {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
9	8	unieqd 3188	. . . . 5 |- (h = H -> U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
10	9	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (h = H -> (y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} <-> y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)}))
11	10	anbi2d 678	. . 3 |- (h = H -> ((x e. ~H /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)}) <-> (x e. ~H /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})))
12	11	opabbidv 3401	. 2 |- (h = H -> {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})} = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})
13		df-pj 10870	. 2 |- proj = {<.h, f>. | (h e. CH /\ f = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})})}
14		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
15	14	opabex2 4539	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})} e. _V
16	12, 13, 15	fvopab4 4743	1 |- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  {crab 2108  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  pjval 10872  pjfni 11281

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain