HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjinvari Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pjinvari 27837
Description: A closed subspace  H with projection  T is invariant under an operator  S iff  S T  =  T S T. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjinvar.1  |-  S : ~H
--> ~H
pjinvar.2  |-  H  e. 
CH
pjinvar.3  |-  T  =  ( proj h `  H )
Assertion
Ref Expression
pjinvari  |-  ( ( S  o.  T ) : ~H --> H  <->  ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T ) ) )

Proof of Theorem pjinvari
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjinvar.3 . . . . . . 7  |-  T  =  ( proj h `  H )
21fveq1i 5864 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( ( S  o.  T ) `  x ) )  =  ( ( proj h `  H ) `  (
( S  o.  T
) `  x )
)
3 pjinvar.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
4 ffvelrn 6018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  x
)  e.  H )
5 pjid 27341 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  CH  /\  ( ( S  o.  T ) `  x
)  e.  H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  ( ( S  o.  T ) `  x
) )  =  ( ( S  o.  T
) `  x )
)
63, 4, 5sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  (
( S  o.  T
) `  x )
)  =  ( ( S  o.  T ) `
 x ) )
72, 6syl5req 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  x
)  =  ( T `
 ( ( S  o.  T ) `  x ) ) )
8 fvco3 5940 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  ( S  o.  T
) ) `  x
)  =  ( T `
 ( ( S  o.  T ) `  x ) ) )
97, 8eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ( ( S  o.  T
) : ~H --> H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  x
)  =  ( ( T  o.  ( S  o.  T ) ) `
 x ) )
109ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ( S  o.  T ) : ~H --> H  ->  A. x  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  x
)  =  ( ( T  o.  ( S  o.  T ) ) `
 x ) )
11 pjinvar.1 . . . . 5  |-  S : ~H
--> ~H
123pjfoi 27349 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  H ) : ~H -onto-> H
13 fof 5791 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H ) : ~H -onto-> H  -> 
( proj h `  H ) : ~H --> H )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> H
151feq1i 5718 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> H  <->  ( proj h `  H ) : ~H --> H )
1614, 15mpbir 213 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> H
173chssii 26877 . . . . . 6  |-  H  C_  ~H
18 fss 5735 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> H  /\  H  C_  ~H )  ->  T : ~H --> ~H )
1916, 17, 18mp2an 677 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
2011, 19hocofni 27413 . . . 4  |-  ( S  o.  T )  Fn 
~H
2111, 19hocofi 27412 . . . . 5  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
2219, 21hocofni 27413 . . . 4  |-  ( T  o.  ( S  o.  T ) )  Fn 
~H
23 eqfnfv 5974 . . . 4  |-  ( ( ( S  o.  T
)  Fn  ~H  /\  ( T  o.  ( S  o.  T )
)  Fn  ~H )  ->  ( ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  x
)  =  ( ( T  o.  ( S  o.  T ) ) `
 x ) ) )
2420, 22, 23mp2an 677 . . 3  |-  ( ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T
) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  x )  =  ( ( T  o.  ( S  o.  T )
) `  x )
)
2510, 24sylibr 216 . 2  |-  ( ( S  o.  T ) : ~H --> H  -> 
( S  o.  T
)  =  ( T  o.  ( S  o.  T ) ) )
26 fco 5737 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> H  /\  ( S  o.  T
) : ~H --> ~H )  ->  ( T  o.  ( S  o.  T )
) : ~H --> H )
2716, 21, 26mp2an 677 . . 3  |-  ( T  o.  ( S  o.  T ) ) : ~H --> H
28 feq1 5708 . . 3  |-  ( ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T
) )  ->  (
( S  o.  T
) : ~H --> H  <->  ( T  o.  ( S  o.  T
) ) : ~H --> H ) )
2927, 28mpbiri 237 . 2  |-  ( ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T
) )  ->  ( S  o.  T ) : ~H --> H )
3025, 29impbii 191 1  |-  ( ( S  o.  T ) : ~H --> H  <->  ( S  o.  T )  =  ( T  o.  ( S  o.  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736    C_ wss 3403    o. ccom 4837    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581   ~Hchil 26565   CHcch 26575   proj hcpjh 26583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-pjh 27041
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator