Theorem pjinvari 11764

Description: A closed subspace H with projection T is invariant under an operator S iff ST = TST. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45.

Hypotheses

Ref	Expression
pjinvar.1	|- S:~H-->~H
pjinvar.2	|- H e. CH
pjinvar.3	|- T = (proj` H)

Assertion

Ref	Expression
pjinvari	|- ((S o. T):~H-->H <-> (S o. T) = (T o. (S o. T)))

Proof of Theorem pjinvari

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 4787	. . . . . . 7 |- (((S o. T):~H-->H /\ x e. ~H) -> ((S o. T)` x) e. H)
2		pjinvar.2	. . . . . . . 8 |- H e. CH
3		pjid 11275	. . . . . . . 8 |- ((H e. CH /\ ((S o. T)` x) e. H) -> ((proj` H)` ((S o. T)` x)) = ((S o. T)` x))
4	2, 3	mpan 759	. . . . . . 7 |- (((S o. T)` x) e. H -> ((proj` H)` ((S o. T)` x)) = ((S o. T)` x))
5	1, 4	syl 12	. . . . . 6 |- (((S o. T):~H-->H /\ x e. ~H) -> ((proj` H)` ((S o. T)` x)) = ((S o. T)` x))
6		pjinvar.3	. . . . . . 7 |- T = (proj` H)
7	6	fveq1i 4682	. . . . . 6 |- (T` ((S o. T)` x)) = ((proj` H)` ((S o. T)` x))
8	5, 7	syl5req 1941	. . . . 5 |- (((S o. T):~H-->H /\ x e. ~H) -> ((S o. T)` x) = (T` ((S o. T)` x)))
9	2	pjfoi 11283	. . . . . . . . . 10 |- (proj` H):~H-onto->H
10		fof 4617	. . . . . . . . . 10 |- ((proj` H):~H-onto->H -> (proj` H):~H-->H)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (proj` H):~H-->H
12	6	feq1i 4558	. . . . . . . . 9 |- (T:~H-->H <-> (proj` H):~H-->H)
13	11, 12	mpbir 207	. . . . . . . 8 |- T:~H-->H
14	2	chssii 10734	. . . . . . . 8 |- H C_ ~H
15		fss 4571	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-->H /\ H C_ ~H) -> T:~H-->~H)
16	13, 14, 15	mp2an 761	. . . . . . 7 |- T:~H-->~H
17		pjinvar.1	. . . . . . . 8 |- S:~H-->~H
18	17, 16	hocofi 11329	. . . . . . 7 |- (S o. T):~H-->~H
19	16, 18	hocoi 11327	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((T o. (S o. T))` x) = (T` ((S o. T)` x)))
20	19	adantl 424	. . . . 5 |- (((S o. T):~H-->H /\ x e. ~H) -> ((T o. (S o. T))` x) = (T` ((S o. T)` x)))
21	8, 20	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((S o. T):~H-->H /\ x e. ~H) -> ((S o. T)` x) = ((T o. (S o. T))` x))
22	21	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((S o. T):~H-->H -> A.x e. ~H ((S o. T)` x) = ((T o. (S o. T))` x))
23	17, 16	hocofni 11330	. . . 4 |- (S o. T) Fn ~H
24	16, 18	hocofni 11330	. . . 4 |- (T o. (S o. T)) Fn ~H
25		eqfnfv2 4767	. . . 4 |- (((S o. T) Fn ~H /\ (T o. (S o. T)) Fn ~H) -> ((S o. T) = (T o. (S o. T)) <-> A.x e. ~H ((S o. T)` x) = ((T o. (S o. T))` x)))
26	23, 24, 25	mp2an 761	. . 3 |- ((S o. T) = (T o. (S o. T)) <-> A.x e. ~H ((S o. T)` x) = ((T o. (S o. T))` x))
27	22, 26	sylibr 217	. 2 |- ((S o. T):~H-->H -> (S o. T) = (T o. (S o. T)))
28		fco 4573	. . . 4 |- ((T:~H-->H /\ (S o. T):~H-->~H) -> (T o. (S o. T)):~H-->H)
29	13, 18, 28	mp2an 761	. . 3 |- (T o. (S o. T)):~H-->H
30		feq1 4551	. . 3 |- ((S o. T) = (T o. (S o. T)) -> ((S o. T):~H-->H <-> (T o. (S o. T)):~H-->H))
31	29, 30	mpbiri 211	. 2 |- ((S o. T) = (T o. (S o. T)) -> (S o. T):~H-->H)
32	27, 31	impbii 174	1 |- ((S o. T):~H-->H <-> (S o. T) = (T o. (S o. T)))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -onto->wfo 3996  ` cfv 3998  ~Hchil 10420  CHcch 10430  projcpj 10438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain