HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjimai Structured version   Unicode version

Theorem pjimai 25531
Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective" http://www.arxiv.org/pdf/quant-ph/0701113 p. 20. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjima.1  |-  A  e.  SH
pjima.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjimai  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  =  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B )

Proof of Theorem pjimai
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjima.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
CH
2 pjima.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  SH
32sheli 24567 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  v  e.  ~H )
4 pjeq 24753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <-> 
( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
51, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  A  ->  (
( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u  <->  ( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B
) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
6 ibar 504 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w )  <->  ( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B
) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
76bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  B  ->  (
( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) )  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
85, 7sylan9bbr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
91cheli 24586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ~H )
101choccli 24661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
1110cheli 24586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( _|_ `  B
)  ->  w  e.  ~H )
12 hvsubadd 24430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
13123comr 1195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
14 ax-hvcom 24354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( u  +h  w
)  =  ( w  +h  u ) )
15143adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
u  +h  w )  =  ( w  +h  u ) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( u  +h  w
)  =  v  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
1713, 16bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( u  +h  w )  =  v ) )
189, 3, 11, 17syl3an 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  -> 
( ( v  -h  w )  =  u  <-> 
( u  +h  w
)  =  v ) )
19 eqcom 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( v  -h  w )  <->  ( v  -h  w )  =  u )
20 eqcom 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  +h  w )  <->  ( u  +h  w )  =  v )
2118, 19, 203bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  -> 
( u  =  ( v  -h  w )  <-> 
v  =  ( u  +h  w ) ) )
22213expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A
)  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  ->  ( u  =  ( v  -h  w )  <->  v  =  ( u  +h  w
) ) )
2322rexbidva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w )  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
248, 23bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) u  =  ( v  -h  w ) ) )
2524rexbidva 2727 . . . . 5  |-  ( u  e.  B  ->  ( E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w ) ) )
261pjfni 25055 . . . . . 6  |-  ( proj h `  B )  Fn  ~H
272shssii 24566 . . . . . 6  |-  A  C_  ~H
28 fvelimab 5742 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  B )  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  ->  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A
)  <->  E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u ) )
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `
 v )  =  u )
3010chshii 24581 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  B )  e.  SH
31 shsel3 24669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( _|_ `  B )  e.  SH )  -> 
( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w ) ) )
322, 30, 31mp2an 672 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B ) u  =  ( v  -h  w ) )
3325, 29, 323bitr4g 288 . . . 4  |-  ( u  e.  B  ->  (
u  e.  ( (
proj h `  B )
" A )  <->  u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) ) ) )
3433pm5.32ri 638 . . 3  |-  ( ( u  e.  ( (
proj h `  B )
" A )  /\  u  e.  B )  <->  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B
) )  /\  u  e.  B ) )
35 imassrn 5175 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  C_  ran  ( proj h `  B )
361pjrni 25056 . . . . . 6  |-  ran  ( proj h `  B )  =  B
3735, 36sseqtri 3383 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  C_  B
3837sseli 3347 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  ->  u  e.  B )
3938pm4.71i 632 . . 3  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A
)  /\  u  e.  B ) )
40 elin 3534 . . 3  |-  ( u  e.  ( ( A  +H  ( _|_ `  B
) )  i^i  B
)  <->  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  /\  u  e.  B
) )
4134, 39, 403bitr4i 277 . 2  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  u  e.  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B ) )
4241eqriv 2435 1  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  =  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ran crn 4836   "cima 4838    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272    +h cva 24273    -h cmv 24278   SHcsh 24281   CHcch 24282   _|_cort 24283    +H cph 24284   proj hcpjh 24290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lm 18808  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-dip 24047  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607  df-shs 24662  df-pjh 24749
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator