HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjimai Structured version   Unicode version

Theorem pjimai 27827
Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective" http://www.arxiv.org/pdf/quant-ph/0701113 p. 20. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjima.1  |-  A  e.  SH
pjima.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjimai  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  =  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B )

Proof of Theorem pjimai
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjima.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
CH
2 pjima.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  SH
32sheli 26865 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  v  e.  ~H )
4 pjeq 27050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <-> 
( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
51, 3, 4sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  A  ->  (
( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u  <->  ( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B
) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
6 ibar 506 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w )  <->  ( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B
) v  =  ( u  +h  w ) ) ) )
76bicomd 204 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  B  ->  (
( u  e.  B  /\  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) )  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
85, 7sylan9bbr 705 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
91cheli 26883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ~H )
101choccli 26958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
1110cheli 26883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( _|_ `  B
)  ->  w  e.  ~H )
12 hvsubadd 26728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
13123comr 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
14 ax-hvcom 26652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( u  +h  w
)  =  ( w  +h  u ) )
15143adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
u  +h  w )  =  ( w  +h  u ) )
1615eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( u  +h  w
)  =  v  <->  ( w  +h  u )  =  v ) )
1713, 16bitr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( v  -h  w
)  =  u  <->  ( u  +h  w )  =  v ) )
189, 3, 11, 17syl3an 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  -> 
( ( v  -h  w )  =  u  <-> 
( u  +h  w
)  =  v ) )
19 eqcom 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( v  -h  w )  <->  ( v  -h  w )  =  u )
20 eqcom 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  +h  w )  <->  ( u  +h  w )  =  v )
2118, 19, 203bitr4g 291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  -> 
( u  =  ( v  -h  w )  <-> 
v  =  ( u  +h  w ) ) )
22213expa 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A
)  /\  w  e.  ( _|_ `  B ) )  ->  ( u  =  ( v  -h  w )  <->  v  =  ( u  +h  w
) ) )
2322rexbidva 2933 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w )  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) v  =  ( u  +h  w ) ) )
248, 23bitr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  A )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  v )  =  u  <->  E. w  e.  ( _|_ `  B ) u  =  ( v  -h  w ) ) )
2524rexbidva 2933 . . . . 5  |-  ( u  e.  B  ->  ( E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w ) ) )
261pjfni 27352 . . . . . 6  |-  ( proj h `  B )  Fn  ~H
272shssii 26864 . . . . . 6  |-  A  C_  ~H
28 fvelimab 5937 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  B )  Fn  ~H  /\  A  C_  ~H )  ->  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A
)  <->  E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `  v
)  =  u ) )
2926, 27, 28mp2an 676 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  E. v  e.  A  ( ( proj h `  B ) `
 v )  =  u )
3010chshii 26878 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  B )  e.  SH
31 shsel3 26966 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( _|_ `  B )  e.  SH )  -> 
( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B
) u  =  ( v  -h  w ) ) )
322, 30, 31mp2an 676 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  <->  E. v  e.  A  E. w  e.  ( _|_ `  B ) u  =  ( v  -h  w ) )
3325, 29, 323bitr4g 291 . . . 4  |-  ( u  e.  B  ->  (
u  e.  ( (
proj h `  B )
" A )  <->  u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) ) ) )
3433pm5.32ri 642 . . 3  |-  ( ( u  e.  ( (
proj h `  B )
" A )  /\  u  e.  B )  <->  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B
) )  /\  u  e.  B ) )
35 imassrn 5198 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  C_  ran  ( proj h `  B )
361pjrni 27353 . . . . . 6  |-  ran  ( proj h `  B )  =  B
3735, 36sseqtri 3496 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  C_  B
3837sseli 3460 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  ->  u  e.  B )
3938pm4.71i 636 . . 3  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A
)  /\  u  e.  B ) )
40 elin 3649 . . 3  |-  ( u  e.  ( ( A  +H  ( _|_ `  B
) )  i^i  B
)  <->  ( u  e.  ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  /\  u  e.  B
) )
4134, 39, 403bitr4i 280 . 2  |-  ( u  e.  ( ( proj h `  B ) " A )  <->  u  e.  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B ) )
4241eqriv 2418 1  |-  ( (
proj h `  B )
" A )  =  ( ( A  +H  ( _|_ `  B ) )  i^i  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ran crn 4854   "cima 4856    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ~Hchil 26570    +h cva 26571    -h cmv 26576   SHcsh 26579   CHcch 26580   _|_cort 26581    +H cph 26582   proj hcpjh 26588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626  ax-hilex 26650  ax-hfvadd 26651  ax-hvcom 26652  ax-hvass 26653  ax-hv0cl 26654  ax-hvaddid 26655  ax-hfvmul 26656  ax-hvmulid 26657  ax-hvmulass 26658  ax-hvdistr1 26659  ax-hvdistr2 26660  ax-hvmul0 26661  ax-hfi 26730  ax-his1 26733  ax-his2 26734  ax-his3 26735  ax-his4 26736  ax-hcompl 26853
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-lm 20243  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cfil 22223  df-cau 22224  df-cmet 22225  df-grpo 25917  df-gid 25918  df-ginv 25919  df-gdiv 25920  df-ablo 26008  df-subgo 26028  df-vc 26163  df-nv 26209  df-va 26212  df-ba 26213  df-sm 26214  df-0v 26215  df-vs 26216  df-nmcv 26217  df-ims 26218  df-dip 26335  df-ssp 26359  df-ph 26452  df-cbn 26503  df-hnorm 26619  df-hba 26620  df-hvsub 26622  df-hlim 26623  df-hcau 26624  df-sh 26858  df-ch 26872  df-oc 26903  df-ch0 26904  df-shs 26959  df-pjh 27046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator