Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthmo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pjhthmo 26948
 Description: Projection Theorem, uniqueness part. Any two disjoint subspaces yield a unique decomposition of vectors into each subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhthmo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem pjhthmo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 832 . . . 4
2 reeanv 2957 . . . . . 6
3 simpll1 1046 . . . . . . . . . 10
4 simpll2 1047 . . . . . . . . . 10
5 simpll3 1048 . . . . . . . . . 10
6 simplrl 769 . . . . . . . . . 10
7 simprll 771 . . . . . . . . . 10
8 simplrr 770 . . . . . . . . . 10
9 simprlr 772 . . . . . . . . . 10
10 simprrl 773 . . . . . . . . . . 11
11 simprrr 774 . . . . . . . . . . 11
1210, 11eqtr3d 2486 . . . . . . . . . 10
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12shuni 26946 . . . . . . . . 9
1413simpld 461 . . . . . . . 8
1514exp32 609 . . . . . . 7
1615rexlimdvv 2884 . . . . . 6
172, 16syl5bir 222 . . . . 5
1817expimpd 607 . . . 4
191, 18syl5bir 222 . . 3
2019alrimivv 1773 . 2
21 eleq1 2516 . . . 4
22 oveq1 6295 . . . . . . 7
2322eqeq2d 2460 . . . . . 6
2423rexbidv 2900 . . . . 5
25 oveq2 6296 . . . . . . 7
2625eqeq2d 2460 . . . . . 6
2726cbvrexv 3019 . . . . 5
2824, 27syl6bb 265 . . . 4
2921, 28anbi12d 716 . . 3
3029mo4 2345 . 2
3120, 30sylibr 216 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 984  wal 1441   wceq 1443   wcel 1886  wmo 2299  wrex 2737   cin 3402  (class class class)co 6288   cva 26566  csh 26574  c0h 26581 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-hvsub 26617  df-sh 26853  df-ch0 26899 This theorem is referenced by:  pjhtheu  27040  pjpreeq  27044
 Copyright terms: Public domain W3C validator