HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem pjhthlem2 24714
Description: Lemma for pjhth 24715. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1  |-  H  e. 
CH
pjhth.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ~H )
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, H, y    ph, x, y

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hba 24290 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhvs 24491 . . . 4  |-  -h  =  ( -v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
42hhnm 24492 . . . 4  |-  normh  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  =  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
6 pjhth.1 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
76chshii 24549 . . . . 5  |-  H  e.  SH
85, 7hhssba 24591 . . . 4  |-  H  =  ( BaseSet `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
92hhph 24499 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  CPreHil OLD
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  CPreHil OLD )
112, 5hhsst 24586 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  SH  ->  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  (
SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
127, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  (
SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
135, 6hhssbn 24600 . . . . . 6  |-  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  CBan
14 elin 3536 . . . . . 6  |-  ( <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  ( ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  i^i  CBan )  <->  ( <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  (
SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  /\  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  CBan ) )
1512, 13, 14mpbir2an 906 . . . . 5  |-  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  ( ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  i^i  CBan )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.  e.  ( ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  i^i  CBan ) )
17 pjhth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ~H )
181, 3, 4, 8, 10, 16, 17minveco 24204 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  H  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) )
19 reurex 2935 . . 3  |-  ( E! x  e.  H  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) )  ->  E. x  e.  H  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  H  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) )
2117adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  A  e.  ~H )
226cheli 24554 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
2322ad2antrl 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  x  e.  ~H )
24 hvsubcl 24338 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  -h  x
)  e.  ~H )
2521, 23, 24syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  ( A  -h  x )  e.  ~H )
2621adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  H  /\  A. z  e.  H  (
normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  /\  y  e.  H )  ->  A  e.  ~H )
27 simplrl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  H  /\  A. z  e.  H  (
normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  /\  y  e.  H )  ->  x  e.  H )
28 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  H  /\  A. z  e.  H  (
normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  /\  y  e.  H )  ->  y  e.  H )
29 simplrr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  H  /\  A. z  e.  H  (
normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  /\  y  e.  H )  ->  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) )
30 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -h  x
)  .ih  y )  /  ( ( y 
.ih  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( A  -h  x )  .ih  y )  /  (
( y  .ih  y
)  +  1 ) )
316, 26, 27, 28, 29, 30pjhthlem1 24713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  H  /\  A. z  e.  H  (
normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  /\  y  e.  H )  ->  (
( A  -h  x
)  .ih  y )  =  0 )
3231ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  H  ( ( A  -h  x )  .ih  y )  =  0 )
33 shocel 24604 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  -h  x
)  e.  ( _|_ `  H )  <->  ( ( A  -h  x )  e. 
~H  /\  A. y  e.  H  ( ( A  -h  x )  .ih  y )  =  0 ) ) )
347, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( A  -h  x )  e.  ( _|_ `  H
)  <->  ( ( A  -h  x )  e. 
~H  /\  A. y  e.  H  ( ( A  -h  x )  .ih  y )  =  0 ) )
3525, 32, 34sylanbrc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  ( A  -h  x )  e.  ( _|_ `  H ) )
36 hvpncan3 24363 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( x  +h  ( A  -h  x ) )  =  A )
3723, 21, 36syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  ( x  +h  ( A  -h  x
) )  =  A )
3837eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  A  =  ( x  +h  ( A  -h  x ) ) )
39 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( A  -h  x )  ->  (
x  +h  y )  =  ( x  +h  ( A  -h  x
) ) )
4039eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( A  -h  x )  ->  ( A  =  ( x  +h  y )  <->  A  =  ( x  +h  ( A  -h  x ) ) ) )
4140rspcev 3070 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -h  x
)  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =  ( x  +h  ( A  -h  x
) ) )  ->  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
4235, 38, 41syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) )
4342expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  H )  ->  ( A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  z ) )  ->  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
4443reximdva 2826 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  H  A. z  e.  H  ( normh `  ( A  -h  x ) )  <_  ( normh `  ( A  -h  z ) )  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
4520, 44mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715    i^i cin 3324   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834    |` cres 4838   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    <_ cle 9415    / cdiv 9989   SubSpcss 24038   CPreHil OLDccphlo 24131   CBanccbn 24182   ~Hchil 24240    +h cva 24241    .h csm 24242    .ih csp 24243   normhcno 24244    -h cmv 24246   SHcsh 24249   CHcch 24250   _|_cort 24251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358  ax-hilex 24320  ax-hfvadd 24321  ax-hvcom 24322  ax-hvass 24323  ax-hv0cl 24324  ax-hvaddid 24325  ax-hfvmul 24326  ax-hvmulid 24327  ax-hvmulass 24328  ax-hvdistr1 24329  ax-hvdistr2 24330  ax-hvmul0 24331  ax-hfi 24400  ax-his1 24403  ax-his2 24404  ax-his3 24405  ax-his4 24406  ax-hcompl 24523
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lm 18733  df-haus 18819  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-cfil 20666  df-cau 20667  df-cmet 20668  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gdiv 23600  df-ablo 23688  df-subgo 23708  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-vs 23896  df-nmcv 23897  df-ims 23898  df-ssp 24039  df-ph 24132  df-cbn 24183  df-hnorm 24289  df-hba 24290  df-hvsub 24292  df-hlim 24293  df-hcau 24294  df-sh 24528  df-ch 24543  df-oc 24574  df-ch0 24575
This theorem is referenced by:  pjhth  24715  omlsii  24725
  Copyright terms: Public domain W3C validator