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Theorem pjhthlem1 24945
Description: Lemma for pjhth 24947. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1  |-  H  e. 
CH
pjhth.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ~H )
pjhth.3  |-  ( ph  ->  B  e.  H )
pjhth.4  |-  ( ph  ->  C  e.  H )
pjhth.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  H  ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  x ) ) )
pjhth.6  |-  T  =  ( ( ( A  -h  B )  .ih  C )  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  C
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, H    x, T
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ~H )
2 pjhth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  H )
3 pjhth.1 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
43cheli 24786 . . . . 5  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  ~H )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ~H )
6 hvsubcl 24570 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
71, 5, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -h  B
)  e.  ~H )
8 pjhth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  H )
93cheli 24786 . . . 4  |-  ( C  e.  H  ->  C  e.  ~H )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ~H )
11 hicl 24633 . . 3  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  C
)  e.  CC )
127, 10, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  C
)  e.  CC )
1312abscld 13039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  e.  RR )
1413recnd 9522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  e.  CC )
1513resqcld 12150 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  e.  RR )
1615renegcld 9885 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  e.  RR )
17 hiidrcl 24648 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( C  .ih  C )  e.  RR )
1810, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  .ih  C
)  e.  RR )
19 2re 10501 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
20 readdcl 9475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  .ih  C
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  e.  RR )
22 0red 9497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
23 peano2re 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  .ih  C )  e.  RR  ->  (
( C  .ih  C
)  +  1 )  e.  RR )
2418, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  e.  RR )
25 hiidge0 24651 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ~H  ->  0  <_  ( C  .ih  C
) )
2610, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( C  .ih  C ) )
2718ltp1d 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  .ih  C
)  <  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
2822, 18, 24, 26, 27lelttrd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
2924ltp1d 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  <  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 )  +  1 ) )
3018recnd 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .ih  C
)  e.  CC )
31 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
32 addass 9479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  .ih  C
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( C  .ih  C )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3331, 31, 32mp3an23 1307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  .ih  C )  e.  CC  ->  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( C  .ih  C )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( C  .ih  C )  +  ( 1  +  1 ) ) )
35 df-2 10490 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3635oveq2i 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  =  ( ( C  .ih  C )  +  ( 1  +  1 ) )
3734, 36syl6reqr 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  =  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 )  +  1 ) )
3829, 37breqtrrd 4425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  <  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )
3922, 24, 21, 28, 38lttrd 9642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )
403chshii 24781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  e.  SH
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  SH )
42 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( ( ( A  -h  B )  .ih  C )  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
4324recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  e.  CC )
4418, 26ge0p1rpd 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  e.  RR+ )
4544rpne0d 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  1 )  =/=  0 )
4612, 43, 45divcld 10217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  C )  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  e.  CC )
4742, 46syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
48 shmulcl 24771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  e.  SH  /\  T  e.  CC  /\  C  e.  H )  ->  ( T  .h  C )  e.  H )
4941, 47, 8, 48syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  .h  C
)  e.  H )
50 shaddcl 24770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  SH  /\  B  e.  H  /\  ( T  .h  C
)  e.  H )  ->  ( B  +h  ( T  .h  C
) )  e.  H
)
5141, 2, 49, 50syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  +h  ( T  .h  C )
)  e.  H )
52 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  H  ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  x ) ) )
53 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( B  +h  ( T  .h  C
) )  ->  ( A  -h  x )  =  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C ) ) ) )
5453fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( B  +h  ( T  .h  C
) )  ->  ( normh `  ( A  -h  x ) )  =  ( normh `  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) ) )
5554breq2d 4411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( B  +h  ( T  .h  C
) )  ->  (
( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  x ) )  <->  ( normh `  ( A  -h  B
) )  <_  ( normh `  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) ) ) )
5655rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  +h  ( T  .h  C ) )  e.  H  ->  ( A. x  e.  H  ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  x ) )  -> 
( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) ) ) )
5751, 52, 56sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) ) )
583cheli 24786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  .h  C )  e.  H  ->  ( T  .h  C )  e.  ~H )
5949, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  .h  C
)  e.  ~H )
60 hvsubass 24597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  ( T  .h  C )  e.  ~H )  ->  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) )  =  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) )
611, 5, 59, 60syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
)  =  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C
) ) ) )
6261fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) )  =  ( normh `  ( A  -h  ( B  +h  ( T  .h  C )
) ) ) )
6357, 62breqtrrd 4425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_ 
( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )
64 normcl 24678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -h  B )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( A  -h  B ) )  e.  RR )
657, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( normh `  ( A  -h  B ) )  e.  RR )
66 hvsubcl 24570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
)  e.  ~H )
677, 59, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
)  e.  ~H )
68 normcl 24678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) )  e.  RR )
70 normge0 24679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -h  B )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( A  -h  B ) ) )
717, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( normh `  ( A  -h  B
) ) )
7222, 65, 69, 71, 63letrd 9638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
) ) )
7365, 69, 71, 72le2sqd 12159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) )  <_  ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  <->  ( ( normh `  ( A  -h  B
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ^
2 ) ) )
7463, 73mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 ) )
7569resqcld 12150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
7665resqcld 12150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
7775, 76subge0d 10039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( A  -h  B
) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ^
2 ) ) )
7874, 77mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( A  -h  B ) ) ^
2 ) ) )
79 2z 10788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
80 rpexpcl 12000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  .ih  C )  +  1 )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
8144, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
8215, 81rerpdivcld 11164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
8382, 21remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  e.  RR )
8483recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  e.  CC )
8584negcld 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  e.  CC )
86 hicl 24633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( A  -h  B
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  e.  CC )
877, 7, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  e.  CC )
8885, 87pncand 9830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )  +  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) ) )  -  ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) )
89 normsq 24687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )
9067, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C ) )  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
) ) )
91 his2sub 24645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H  /\  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) )  -  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ) )
927, 59, 67, 91syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) )  -  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ) )
93 his2sub2 24646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
) ) )
947, 7, 59, 93syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
) ) )
9594oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )  =  ( ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ) )
96 hicl 24633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  e.  CC )
977, 59, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  e.  CC )
98 his2sub2 24646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  .h  C
)  e.  ~H  /\  ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( T  .h  C
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
) ) )
9959, 7, 59, 98syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( T  .h  C
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
) ) )
100 hicl 24633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  .h  C
)  e.  ~H  /\  ( A  -h  B
)  e.  ~H )  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B ) )  e.  CC )
10159, 7, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B ) )  e.  CC )
102 hicl 24633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  .h  C
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
)  e.  CC )
10359, 59, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
)  e.  CC )
104101, 103subcld 9829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( T  .h  C ) ) )  e.  CC )
10599, 104eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  e.  CC )
10687, 97, 105subsub4d 9860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C
) )  +  ( ( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ) ) )
10782recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
10831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
109107, 43, 108adddid 9520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  1 ) ) )
11037oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 )  +  1 ) ) )
111 his5 24639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( * `  T )  x.  ( ( A  -h  B )  .ih  C ) ) )
11247, 7, 10, 111syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( * `  T )  x.  ( ( A  -h  B )  .ih  C ) ) )
11347cjcld 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  e.  CC )
114113, 12mulcomd 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * `  T )  x.  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  C )  x.  ( * `  T
) ) )
11512cjcld 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  e.  CC )
11612, 115, 43, 45divassd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  C )  x.  ( * `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  C )  x.  ( ( * `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) ) )
11712absvalsqd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  C )  x.  ( * `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ) )
118117oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  -h  B
)  .ih  C )  x.  ( * `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) )
11942fveq2i 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( * `
 T )  =  ( * `  (
( ( A  -h  B )  .ih  C
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
12012, 43, 45cjdivd 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( A  -h  B )  .ih  C
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( * `  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) ) )
12124cjred 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) )  =  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
122121oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) )  /  (
* `  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `
 ( ( A  -h  B )  .ih  C ) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) )
123120, 122eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( ( A  -h  B )  .ih  C
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
124119, 123syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  =  ( ( * `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
125124oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  C )  x.  ( * `
 T ) )  =  ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  C )  x.  ( ( * `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) ) )
126116, 118, 1253eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  C )  x.  ( * `
 T ) )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
127112, 114, 1263eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
12815recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  e.  CC )
129128, 43mulcomd 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  =  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 )  x.  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 ) ) )
13043sqvald 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
131129, 130oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 ) )  /  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) ) )
132128, 43, 43, 45, 45divcan5d 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  .ih  C )  +  1 )  x.  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
133131, 132eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
13424resqcld 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
135134recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
13681rpne0d 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
137128, 43, 135, 136div23d 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
138127, 133, 1373eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
13982, 24remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) )  e.  RR )
140138, 139eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  e.  RR )
141 hire 24647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  -h  B
)  e.  ~H  /\  ( T  .h  C
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C
) )  e.  RR  <->  ( ( A  -h  B
)  .ih  ( T  .h  C ) )  =  ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B ) ) ) )
1427, 59, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C
) )  e.  RR  <->  ( ( A  -h  B
)  .ih  ( T  .h  C ) )  =  ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B ) ) ) )
143140, 142mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( T  .h  C ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) )
144143, 138eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
145 his35 24641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( C  e. 
~H  /\  C  e.  ~H ) )  ->  (
( T  .h  C
)  .ih  ( T  .h  C ) )  =  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( C  .ih  C ) ) )
14647, 47, 10, 10, 145syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( T  x.  ( * `
 T ) )  x.  ( C  .ih  C ) ) )
14742fveq2i 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  T )  =  ( abs `  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  C )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
14812, 43, 45absdivd 13058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  -h  B )  .ih  C
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( abs `  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) ) )
14944rpge0d 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
15024, 149absidd 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) )  =  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )
151150oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  /  ( abs `  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )
152148, 151eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  -h  B )  .ih  C
)  /  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
153147, 152syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  =  ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) )
154153oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) )  /  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ) ^
2 ) )
15547absvalsqd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( * `  T
) ) )
15614, 43, 45sqdivd 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) )  /  (
( C  .ih  C
)  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
157154, 155, 1563eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) ) )
158157oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( C  .ih  C ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( C  .ih  C
) ) )
159146, 158eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  ( T  .h  C )
)  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( C  .ih  C
) ) )
160144, 159oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  .h  C )  .ih  ( A  -h  B
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( C  .ih  C
) ) ) )
161 pncan2 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .ih  C
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 )  -  ( C  .ih  C ) )  =  1 )
16230, 31, 161sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C 
.ih  C )  +  1 )  -  ( C  .ih  C ) )  =  1 )
163162oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  -  ( C  .ih  C ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
164107, 43, 30subdid 9910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( C  .ih  C )  +  1 )  -  ( C  .ih  C ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( C  .ih  C
) ) ) )
165163, 164eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( C  .ih  C ) ) ) )
166160, 99, 1653eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T  .h  C )  .ih  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  1 ) )
167138, 166oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C
) )  +  ( ( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  1 ) ) )
168109, 110, 1673eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C
) )  +  ( ( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) )
169168oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B
) )  -  (
( ( A  -h  B )  .ih  ( T  .h  C )
)  +  ( ( T  .h  C ) 
.ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) ) ) )
17095, 106, 1693eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
) )  -  (
( T  .h  C
)  .ih  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) ) ) )
17190, 92, 1703eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) ) ) )
17287, 84negsubd 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B
) )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) ) )  =  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) )  -  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) ) )
17387, 85addcomd 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B
) )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( C  .ih  C
)  +  2 ) ) )  =  (
-u ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  +  ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) ) )
174171, 172, 1733eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  (
( A  -h  B
)  -h  ( T  .h  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( -u (
( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )  +  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) ) ) )
175 normsq 24687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -h  B )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( A  -h  B ) ) ^
2 )  =  ( ( A  -h  B
)  .ih  ( A  -h  B ) ) )
1767, 175syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( normh `  ( A  -h  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) ) )
177174, 176oveq12d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C )
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( A  -h  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )  +  ( ( A  -h  B )  .ih  ( A  -h  B ) ) )  -  ( ( A  -h  B ) 
.ih  ( A  -h  B ) ) ) )
17821renegcld 9885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C 
.ih  C )  +  2 )  e.  RR )
179178recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( C 
.ih  C )  +  2 )  e.  CC )
180128, 179, 135, 136div23d 10254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  -u ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) )
18121recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  e.  CC )
182107, 181mulneg2d 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) ) )
183180, 182eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  /  ( ( ( C  .ih  C )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) )
18488, 177, 1833eqtr4rd 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( (
normh `  ( ( A  -h  B )  -h  ( T  .h  C
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( A  -h  B ) ) ^
2 ) ) )
18578, 184breqtrrd 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  -u ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )  / 
( ( ( C 
.ih  C )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
18615, 178remulcld 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  e.  RR )
187186, 81ge0divd 11171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  -u ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) )  <->  0  <_  ( ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( C  .ih  C
)  +  2 ) )  /  ( ( ( C  .ih  C
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
188185, 187mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  -u ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) ) )
189 mulneg12 9893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( C  .ih  C
)  +  2 )  e.  CC )  -> 
( -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) )
190128, 181, 189syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  -u ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) ) )
191188, 190breqtrrd 4425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( -u (
( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  x.  ( ( C 
.ih  C )  +  2 ) ) )
192 prodge02 10287 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( ( C  .ih  C )  +  2 )  /\  0  <_  ( -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 )  x.  ( ( C  .ih  C )  +  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 ) )
19316, 21, 39, 191, 192syl22anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( abs `  ( ( A  -h  B ) 
.ih  C ) ) ^ 2 ) )
19415le0neg1d 10021 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 ) ) )
195193, 194mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  <_  0 )
19613sqge0d 12151 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C ) ) ^ 2 ) )
197 0re 9496 . . . . 5  |-  0  e.  RR
198 letri3 9570 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  =  0  <->  ( (
( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 ) ) ) )
19915, 197, 198sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  -h  B )  .ih  C
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  <_  0  /\  0  <_  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 ) ) ) )
200195, 196, 199mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
) ^ 2 )  =  0 )
20114, 200sqeq0d 12123 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  -h  B
)  .ih  C )
)  =  0 )
20212, 201abs00d 13049 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -h  B )  .ih  C
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   2c2 10481   ZZcz 10756   RR+crp 11101   ^cexp 11981   *ccj 12702   abscabs 12840   ~Hchil 24472    +h cva 24473    .h csm 24474    .ih csp 24475   normhcno 24476    -h cmv 24478   SHcsh 24481   CHcch 24482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-hilex 24552  ax-hfvadd 24553  ax-hvass 24555  ax-hv0cl 24556  ax-hfvmul 24558  ax-hvdistr1 24561  ax-hvmul0 24563  ax-hfi 24632  ax-his1 24635  ax-his2 24636  ax-his3 24637  ax-his4 24638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-hnorm 24521  df-hvsub 24524  df-sh 24760  df-ch 24775
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  24946
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