HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Structured version   Unicode version

Theorem pjhtheu 24809
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 24831 for the uniqueness of  y. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, H, y

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 24808 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )
21eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  ~H ) )
3 chsh 24639 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
4 shocsh 24699 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
6 shsel 24729 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
82, 7bitr3d 255 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ~H  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
98biimpa 484 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
10 ocin 24711 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
12 pjhthmo 24717 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
1413adantr 465 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
15 reu5 2948 . . 3  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
16 df-rmo 2735 . . . 4  |-  ( E* x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
1716anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) )  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  /\  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) ) )
1815, 17bitri 249 . 2  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) ) )
199, 14, 18sylanbrc 664 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254   E.wrex 2728   E!wreu 2729   E*wrmo 2730    i^i cin 3339   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   ~Hchil 24333    +h cva 24334   SHcsh 24342   CHcch 24343   _|_cort 24344    +H cph 24345   0Hc0h 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499  ax-hcompl 24616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lm 18845  df-haus 18931  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-cfil 20778  df-cau 20779  df-cmet 20780  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-subgo 23801  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-ssp 24132  df-ph 24225  df-cbn 24276  df-hnorm 24382  df-hba 24383  df-hvsub 24385  df-hlim 24386  df-hcau 24387  df-sh 24621  df-ch 24636  df-oc 24667  df-ch0 24668  df-shs 24723
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  24831
  Copyright terms: Public domain W3C validator