HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhcli Structured version   Unicode version

Theorem pjhcli 26000
Description: Closure of a projection in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjcl.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjhcli  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )

Proof of Theorem pjhcli
StepHypRef Expression
1 pjcl.1 . 2  |-  H  e. 
CH
2 pjhcl 25983 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
31, 2mpan 670 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   ` cfv 5581   ~Hchil 25500   CHcch 25510   proj hcpjh 25518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563  ax-hilex 25580  ax-hfvadd 25581  ax-hvcom 25582  ax-hvass 25583  ax-hv0cl 25584  ax-hvaddid 25585  ax-hfvmul 25586  ax-hvmulid 25587  ax-hvmulass 25588  ax-hvdistr1 25589  ax-hvdistr2 25590  ax-hvmul0 25591  ax-hfi 25660  ax-his1 25663  ax-his2 25664  ax-his3 25665  ax-his4 25666  ax-hcompl 25783
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lm 19491  df-haus 19577  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-cfil 21424  df-cau 21425  df-cmet 21426  df-grpo 24857  df-gid 24858  df-ginv 24859  df-gdiv 24860  df-ablo 24948  df-subgo 24968  df-vc 25103  df-nv 25149  df-va 25152  df-ba 25153  df-sm 25154  df-0v 25155  df-vs 25156  df-nmcv 25157  df-ims 25158  df-ssp 25299  df-ph 25392  df-cbn 25443  df-hnorm 25549  df-hba 25550  df-hvsub 25552  df-hlim 25553  df-hcau 25554  df-sh 25788  df-ch 25803  df-oc 25834  df-ch0 25835  df-shs 25890  df-pjh 25977
This theorem is referenced by:  pjhclii  26004  pjige0i  26272  mayete3i  26310  mayete3iOLD  26311  ho0val  26333  pjnmopi  26731  pjcocli  26742  pjadjcoi  26744  pjss2coi  26747  pjnormssi  26751  pjorthcoi  26752  pjssposi  26755  pjadj2coi  26787  pj2cocli  26788  pjs14i  26793  strlem5  26838  jplem1  26851
  Copyright terms: Public domain W3C validator