HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhcli Structured version   Unicode version

Theorem pjhcli 26763
Description: Closure of a projection in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjcl.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjhcli  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )

Proof of Theorem pjhcli
StepHypRef Expression
1 pjcl.1 . 2  |-  H  e. 
CH
2 pjhcl 26746 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
31, 2mpan 670 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1844   ` cfv 5571   ~Hchil 26263   CHcch 26273   proj hcpjh 26281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hvcom 26345  ax-hvass 26346  ax-hv0cl 26347  ax-hvaddid 26348  ax-hfvmul 26349  ax-hvmulid 26350  ax-hvmulass 26351  ax-hvdistr1 26352  ax-hvdistr2 26353  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his2 26427  ax-his3 26428  ax-his4 26429  ax-hcompl 26546
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lm 20025  df-haus 20111  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-cfil 21988  df-cau 21989  df-cmet 21990  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gdiv 25623  df-ablo 25711  df-subgo 25731  df-vc 25866  df-nv 25912  df-va 25915  df-ba 25916  df-sm 25917  df-0v 25918  df-vs 25919  df-nmcv 25920  df-ims 25921  df-ssp 26062  df-ph 26155  df-cbn 26206  df-hnorm 26312  df-hba 26313  df-hvsub 26315  df-hlim 26316  df-hcau 26317  df-sh 26551  df-ch 26566  df-oc 26597  df-ch0 26598  df-shs 26653  df-pjh 26740
This theorem is referenced by:  pjhclii  26767  pjige0i  27035  mayete3i  27073  ho0val  27095  pjnmopi  27493  pjcocli  27504  pjadjcoi  27506  pjss2coi  27509  pjnormssi  27513  pjorthcoi  27514  pjssposi  27517  pjadj2coi  27549  pj2cocli  27550  pjs14i  27555  strlem5  27600  jplem1  27613
  Copyright terms: Public domain W3C validator