Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pjfval 19346
 Description: The value of the projection function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval.v
pjfval.l
pjfval.o
pjfval.p
pjfval.k
Assertion
Ref Expression
pjfval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pjfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjfval.k . 2
2 fveq2 5879 . . . . . . 7
3 pjfval.l . . . . . . 7
42, 3syl6eqr 2523 . . . . . 6
5 fveq2 5879 . . . . . . . 8
6 pjfval.p . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2523 . . . . . . 7
8 eqidd 2472 . . . . . . 7
9 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
10 pjfval.o . . . . . . . . 9
119, 10syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
1211fveq1d 5881 . . . . . . 7
137, 8, 12oveq123d 6329 . . . . . 6
144, 13mpteq12dv 4474 . . . . 5
15 fveq2 5879 . . . . . . . 8
16 pjfval.v . . . . . . . 8
1715, 16syl6eqr 2523 . . . . . . 7
1817, 17oveq12d 6326 . . . . . 6
1918xpeq2d 4863 . . . . 5
2014, 19ineq12d 3626 . . . 4
21 df-pj 19343 . . . 4
22 fvex 5889 . . . . . . . 8
233, 22eqeltri 2545 . . . . . . 7
2423inex1 4537 . . . . . 6
25 ovex 6336 . . . . . . 7
2625inex2 4538 . . . . . 6
2724, 26xpex 6614 . . . . 5
28 eqid 2471 . . . . . . . 8
29 ovex 6336 . . . . . . . . 9
3029a1i 11 . . . . . . . 8
3128, 30fmpti 6060 . . . . . . 7
32 fssxp 5753 . . . . . . 7
33 ssrin 3648 . . . . . . 7
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . 6
35 inxp 4972 . . . . . 6
3634, 35sseqtri 3450 . . . . 5
3727, 36ssexi 4541 . . . 4
3820, 21, 37fvmpt 5963 . . 3
39 fvprc 5873 . . . 4
40 inss1 3643 . . . . 5
41 fvprc 5873 . . . . . . . 8
423, 41syl5eq 2517 . . . . . . 7
4342mpteq1d 4477 . . . . . 6
44 mpt0 5715 . . . . . 6
4543, 44syl6eq 2521 . . . . 5
46 sseq0 3769 . . . . 5
4740, 45, 46sylancr 676 . . . 4
4839, 47eqtr4d 2508 . . 3
4938, 48pm2.61i 169 . 2
501, 49eqtri 2493 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722   cmpt 4454   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cbs 15199  cpj1 17365  clss 18233  cocv 19300  cpj 19340 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-pj 19343 This theorem is referenced by:  pjdm  19347  pjpm  19348  pjfval2  19349
 Copyright terms: Public domain W3C validator