Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Unicode version

Theorem pjfo 18873
 Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k
pjf.v
Assertion
Ref Expression
pjfo

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3
2 pjf.v . . 3
31, 2pjf2 18872 . 2
4 frn 5743 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3
6 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
86, 7, 1pjval 18868 . . . . . . . . 9
98ad2antlr 726 . . . . . . . 8
109fveq1d 5874 . . . . . . 7
11 eqid 2457 . . . . . . . 8
12 eqid 2457 . . . . . . . 8
13 eqid 2457 . . . . . . . 8
14 eqid 2457 . . . . . . . 8 Cntz Cntz
15 phllmod 18792 . . . . . . . . . . 11
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10
17 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1817lsssssubg 17731 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1916, 18syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp
202, 17, 6, 12, 1pjdm2 18869 . . . . . . . . . 10
2120simprbda 623 . . . . . . . . 9
2219, 21sseldd 3500 . . . . . . . 8 SubGrp
232, 17lssss 17710 . . . . . . . . . . 11
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
252, 6, 17ocvlss 18830 . . . . . . . . . 10
2624, 25syldan 470 . . . . . . . . 9
2719, 26sseldd 3500 . . . . . . . 8 SubGrp
286, 17, 13ocvin 18832 . . . . . . . . 9
2921, 28syldan 470 . . . . . . . 8
30 lmodabl 17684 . . . . . . . . . 10
3116, 30syl 16 . . . . . . . . 9
3214, 31, 22, 27ablcntzd 16990 . . . . . . . 8 Cntz
3311, 12, 13, 14, 22, 27, 29, 32, 7pj1lid 16846 . . . . . . 7
3410, 33eqtrd 2498 . . . . . 6
35 ffn 5737 . . . . . . . . 9
363, 35syl 16 . . . . . . . 8
3736adantr 465 . . . . . . 7
3824sselda 3499 . . . . . . 7
39 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6
4134, 40eqeltrrd 2546 . . . . 5
4241ex 434 . . . 4
4342ssrdv 3505 . . 3
445, 43eqssd 3516 . 2
45 dffo2 5805 . 2
463, 44, 45sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   cin 3470   wss 3471  csn 4032   cdm 5008   crn 5009   wfn 5589  wf 5590  wfo 5592  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   cplusg 14712  c0g 14857  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480  clsm 16781  cpj1 16782  cabl 16926  clmod 17639  clss 17705  cphl 18786  cocv 18818  cpj 18858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-pj1 16784  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-phl 18788  df-ocv 18821  df-pj 18861 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator