MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Unicode version

Theorem pjfo 18873
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjfo  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V -onto-> T
)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
2 pjf.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
31, 2pjf2 18872 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
4 frn 5743 . . . 4  |-  ( ( K `  T ) : V --> T  ->  ran  ( K `  T
)  C_  T )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  ran  ( K `  T
)  C_  T )
6 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
7 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
86, 7, 1pjval 18868 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
98ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  ( K `  T )  =  ( T (
proj1 `  W
) ( ( ocv `  W ) `  T
) ) )
109fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  =  ( ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) `
 x ) )
11 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
13 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
14 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
15 phllmod 18792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
17 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
1817lsssssubg 17731 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
202, 17, 6, 12, 1pjdm2 18869 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
2120simprbda 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
2219, 21sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
232, 17lssss 17710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
252, 6, 17ocvlss 18830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2624, 25syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2719, 26sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
286, 17, 13ocvin 18832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2921, 28syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
30 lmodabl 17684 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
3116, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
3214, 31, 22, 27ablcntzd 16990 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
3311, 12, 13, 14, 22, 27, 29, 32, 7pj1lid 16846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( T ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) `  x )  =  x )
3410, 33eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  =  x )
35 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K `  T ) : V --> T  -> 
( K `  T
)  Fn  V )
363, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  Fn  V )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  ( K `  T )  Fn  V )
3824sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  V )
39 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K `  T
)  Fn  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( K `  T ) `  x
)  e.  ran  ( K `  T )
)
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  e.  ran  ( K `  T ) )
4134, 40eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ran  ( K `  T ) )
4241ex 434 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  ran  ( K `  T )
) )
4342ssrdv 3505 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ran  ( K `
 T ) )
445, 43eqssd 3516 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  ran  ( K `  T
)  =  T )
45 dffo2 5805 . 2  |-  ( ( K `  T ) : V -onto-> T  <->  ( ( K `  T ) : V --> T  /\  ran  ( K `  T )  =  T ) )
463, 44, 45sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V -onto-> T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   dom cdm 5008   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   LSSumclsm 16781   proj1cpj1 16782   Abelcabl 16926   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   PreHilcphl 18786   ocvcocv 18818   projcpj 18858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-pj1 16784  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-phl 18788  df-ocv 18821  df-pj 18861
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator