Theorem pjff 18870

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	|- K = ( proj ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjff	|- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Proof of Theorem pjff

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		eqid 2457	. . . 4 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
3		eqid 2457	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
4		eqid 2457	. . . 4 |- ( proj1 ` W ) = ( proj1 ` W )
5		phllmod 18792	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> W e. LMod )
7		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
8		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
9		pjf.k	. . . . . 6 |- K = ( proj ` W )
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 18869	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K <-> ( x e. ( LSubSp ` W ) /\ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) ) ) )
11	10	simprbda 623	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. ( LSubSp ` W ) )
12	7, 1	lssss 17710	. . . . . 6 |- ( x e. ( LSubSp ` W ) -> x C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x C_ ( Base ` W ) )
14	7, 8, 1	ocvlss 18830	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x C_ ( Base ` W ) ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
15	13, 14	syldan 470	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	8, 1, 3	ocvin 18832	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
17	11, 16	syldan 470	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 17873	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) )
19	10	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) )
20	19	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = ( W ↾s ( Base ` W ) ) )
21	7	ressid 14706	. . . . . 6 |- ( W e. PreHil -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
23	20, 22	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = W )
24	23	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) = ( W LMHom W ) )
25	18, 24	eleqtrd 2547	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( W LMHom W ) )
26	8, 4, 9	pjfval2 18867	. 2 |- K = ( x e. dom K |-> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) )
27	25, 26	fmptd 6056	1 |- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   i^i cin 3470   C_ wss 3471   {csn 4032   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   0gc0g 14857   LSSumclsm 16781   proj1cpj1 16782   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LMHom clmhm 17792   PreHilcphl 18786   ocvcocv 18818   projcpj 18858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-pj1 16784  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-phl 18788  df-ocv 18821  df-pj 18861

This theorem is referenced by: (None)