MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Unicode version

Theorem pjff 18263
Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjff  |-  ( W  e.  PreHil  ->  K : dom  K --> ( W LMHom  W ) )

Proof of Theorem pjff
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
5 phllmod 18185 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
9 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 18262 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( x  e. 
dom  K  <->  ( x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) ) ) )
1110simprbda 623 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  e.  ( LSubSp `  W ) )
127, 1lssss 17142 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  x  C_  ( Base `  W ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  ->  x  C_  ( Base `  W
) )
147, 8, 1ocvlss 18223 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  C_  ( Base `  W
) )  ->  (
( ocv `  W
) `  x )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1513, 14syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  x )  e.  ( LSubSp `  W )
)
168, 1, 3ocvin 18225 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( x  i^i  ( ( ocv `  W
) `  x )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
1711, 16syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x  i^i  (
( ocv `  W
) `  x )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 17305 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
)  e.  ( ( Ws  ( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) ) ) LMHom  W ) )
1910simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 x ) )  =  ( Base `  W
) )
2019oveq2d 6217 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( x (
LSSum `  W ) ( ( ocv `  W
) `  x )
) )  =  ( Ws  ( Base `  W
) ) )
217ressid 14353 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( Ws  ( Base `  W ) )  =  W )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( Base `  W
) )  =  W )
2320, 22eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( Ws  ( x (
LSSum `  W ) ( ( ocv `  W
) `  x )
) )  =  W )
2423oveq1d 6216 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( ( Ws  ( x ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
) ) LMHom  W )  =  ( W LMHom  W
) )
2518, 24eleqtrd 2544 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  dom  K )  -> 
( x ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
)  e.  ( W LMHom 
W ) )
268, 4, 9pjfval2 18260 . 2  |-  K  =  ( x  e.  dom  K 
|->  ( x ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  x )
) )
2725, 26fmptd 5977 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  K : dom  K --> ( W LMHom  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3436    C_ wss 3437   {csn 3986   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   0gc0g 14498   LSSumclsm 16255   proj1cpj1 16256   LModclmod 17072   LSubSpclss 17137   LMHom clmhm 17224   PreHilcphl 18179   ocvcocv 18211   projcpj 18251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-lsm 16257  df-pj1 16258  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lmhm 17227  df-lvec 17308  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-phl 18181  df-ocv 18214  df-pj 18254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator