Theorem pjff 18263

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	|- K = ( proj ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjff	|- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Proof of Theorem pjff

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		eqid 2454	. . . 4 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
3		eqid 2454	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
4		eqid 2454	. . . 4 |- ( proj1 ` W ) = ( proj1 ` W )
5		phllmod 18185	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> W e. LMod )
7		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
8		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
9		pjf.k	. . . . . 6 |- K = ( proj ` W )
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 18262	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K <-> ( x e. ( LSubSp ` W ) /\ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) ) ) )
11	10	simprbda 623	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. ( LSubSp ` W ) )
12	7, 1	lssss 17142	. . . . . 6 |- ( x e. ( LSubSp ` W ) -> x C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x C_ ( Base ` W ) )
14	7, 8, 1	ocvlss 18223	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x C_ ( Base ` W ) ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
15	13, 14	syldan 470	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	8, 1, 3	ocvin 18225	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
17	11, 16	syldan 470	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 17305	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) )
19	10	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) )
20	19	oveq2d 6217	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = ( W ↾s ( Base ` W ) ) )
21	7	ressid 14353	. . . . . 6 |- ( W e. PreHil -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
22	21	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
23	20, 22	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = W )
24	23	oveq1d 6216	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) = ( W LMHom W ) )
25	18, 24	eleqtrd 2544	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( W LMHom W ) )
26	8, 4, 9	pjfval2 18260	. 2 |- K = ( x e. dom K |-> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) )
27	25, 26	fmptd 5977	1 |- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   i^i cin 3436   C_ wss 3437   {csn 3986   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   ↾_s cress 14294   0gc0g 14498   LSSumclsm 16255   proj1cpj1 16256   LModclmod 17072   LSubSpclss 17137   LMHom clmhm 17224   PreHilcphl 18179   ocvcocv 18211   projcpj 18251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-lsm 16257  df-pj1 16258  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lmhm 17227  df-lvec 17308  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-phl 18181  df-ocv 18214  df-pj 18254

This theorem is referenced by: (None)