MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Unicode version

Theorem pjf2 18250
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2451 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 phllmod 18170 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 17147 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 pjf.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
12 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 18247 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
1413simprbda 623 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
159, 14sseldd 3457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
1610, 7lssss 17126 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
1810, 11, 7ocvlss 18208 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1917, 18syldan 470 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
209, 19sseldd 3457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
2111, 7, 3ocvin 18210 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2214, 21syldan 470 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
23 lmodabl 17100 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
246, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
254, 24, 15, 20ablcntzd 16445 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
26 eqid 2451 . . 3  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 16300 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T )
2811, 26, 12pjval 18246 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
3029eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  ( K `
 T ) )
3113simplbda 624 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V )
3230, 31feq12d 5648 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( T (
proj1 `  W
) ( ( ocv `  W ) `  T
) ) : ( T ( LSSum `  W
) ( ( ocv `  W ) `  T
) ) --> T  <->  ( K `  T ) : V --> T ) )
3327, 32mpbid 210 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3427    C_ wss 3428   {csn 3977   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   0gc0g 14482  SubGrpcsubg 15779  Cntzccntz 15937   LSSumclsm 16239   proj1cpj1 16240   Abelcabel 16384   LModclmod 17056   LSubSpclss 17121   PreHilcphl 18164   ocvcocv 18196   projcpj 18236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cntz 15939  df-lsm 16241  df-pj1 16242  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lmhm 17211  df-lvec 17292  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-phl 18166  df-ocv 18199  df-pj 18239
This theorem is referenced by:  pjfo  18251
  Copyright terms: Public domain W3C validator