MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Unicode version

Theorem pjf2 18855
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjf2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2392 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2392 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2392 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 eqid 2392 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 phllmod 18775 . . . . . 6  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2392 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 17736 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 pjf.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 eqid 2392 . . . . . 6  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
12 pjf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( proj `  W
)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 18852 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
1413simprbda 621 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
159, 14sseldd 3431 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
1610, 7lssss 17715 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
1810, 11, 7ocvlss 18813 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
1917, 18syldan 468 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
209, 19sseldd 3431 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
2111, 7, 3ocvin 18815 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2214, 21syldan 468 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
23 lmodabl 17689 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
246, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
254, 24, 15, 20ablcntzd 16999 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
26 eqid 2392 . . 3  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 16851 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) : ( T ( LSSum `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) --> T )
2811, 26, 12pjval 18851 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
2928adantl 464 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
3029eqcomd 2400 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( proj1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  ( K `
 T ) )
3113simplbda 622 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V )
3230, 31feq12d 5641 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( T (
proj1 `  W
) ( ( ocv `  W ) `  T
) ) : ( T ( LSSum `  W
) ( ( ocv `  W ) `  T
) ) --> T  <->  ( K `  T ) : V --> T ) )
3327, 32mpbid 210 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    i^i cin 3401    C_ wss 3402   {csn 3957   dom cdm 4926   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Basecbs 14653   +g cplusg 14721   0gc0g 14866  SubGrpcsubg 16331  Cntzccntz 16489   LSSumclsm 16790   proj1cpj1 16791   Abelcabl 16935   LModclmod 17644   LSubSpclss 17710   PreHilcphl 18769   ocvcocv 18801   projcpj 18841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-0g 14868  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-grp 16193  df-minusg 16194  df-sbg 16195  df-subg 16334  df-ghm 16401  df-cntz 16491  df-lsm 16792  df-pj1 16793  df-cmn 16936  df-abl 16937  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-lmod 17646  df-lss 17711  df-lmhm 17800  df-lvec 17881  df-sra 17950  df-rgmod 17951  df-phl 18771  df-ocv 18804  df-pj 18844
This theorem is referenced by:  pjfo  18856
  Copyright terms: Public domain W3C validator