MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Unicode version

Theorem pjdm2 18509
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjdm2.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjdm2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjdm2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjdm2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjdm2.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
3 pjdm2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
5 pjdm2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 18505 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
8 pjdm2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
11 phllmod 18432 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
132lsssssubg 17387 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  L  C_  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  L )
1614, 15sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
171, 2lssss 17366 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  L  ->  T  C_  V )
181, 3, 2ocvlss 18470 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
1917, 18sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
2014, 19sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
213, 2, 9ocvin 18472 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T  i^i  (  ._|_  `  T
) )  =  {
( 0g `  W
) } )
22 lmodabl 17340 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  Abel )
2410, 23, 16, 20ablcntzd 16656 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W
) `  (  ._|_  `  T ) ) )
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 16511 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> T )
2617adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  V )
27 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( ( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> T  /\  T  C_  V )  -> 
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> V )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V )
29 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  dom  ( T
( proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  =  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) )
3029eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  dom  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
31 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  dom  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  V )
3231eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  (
( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  dom  ( T (
proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3330, 32syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) )
34 feq2 5712 . . . . . 6  |-  ( ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  <-> 
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V ) )
3534biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V  ->  ( T (
proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) ) : V --> V ) )
3633, 35impbid 191 . . . 4  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3837pm5.32da 641 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( T  e.  L  /\  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )  <->  ( T  e.  L  /\  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
396, 38syl5bb 257 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691  SubGrpcsubg 15990  Cntzccntz 16148   LSSumclsm 16450   proj1cpj1 16451   Abelcabl 16595   LModclmod 17295   LSubSpclss 17361   PreHilcphl 18426   ocvcocv 18458   projcpj 18498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-lsm 16452  df-pj1 16453  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lmhm 17451  df-lvec 17532  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-phl 18428  df-ocv 18461  df-pj 18501
This theorem is referenced by:  pjff  18510  pjf2  18512  pjfo  18513  pjcss  18514  ocvpj  18515  ishil2  18517  pjth2  21590
  Copyright terms: Public domain W3C validator