MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjdm2 Structured version   Unicode version

Theorem pjdm2 18136
Description: A subspace is in the domain of the projection function iff the subspace admits a projection decomposition of the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjdm2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjdm2.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjdm2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjdm2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjdm2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjdm2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )

Proof of Theorem pjdm2
StepHypRef Expression
1 pjdm2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjdm2.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
3 pjdm2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( proj1 `  W )  =  ( proj1 `  W )
5 pjdm2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
61, 2, 3, 4, 5pjdm 18132 . 2  |-  ( T  e.  dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V ) )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
8 pjdm2.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
11 phllmod 18059 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
132lsssssubg 17039 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  L  C_  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  L )
1614, 15sseldd 3357 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
171, 2lssss 17018 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  L  ->  T  C_  V )
181, 3, 2ocvlss 18097 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
1917, 18sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  L )
2014, 19sseldd 3357 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (  ._|_  `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
213, 2, 9ocvin 18099 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T  i^i  (  ._|_  `  T
) )  =  {
( 0g `  W
) } )
22 lmodabl 16992 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  W  e.  Abel )
2410, 23, 16, 20ablcntzd 16339 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W
) `  (  ._|_  `  T ) ) )
257, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 24, 4pj1f 16194 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> T )
2617adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  T  C_  V )
27 fss 5567 . . . . 5  |-  ( ( ( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> T  /\  T  C_  V )  -> 
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) ) --> V )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V )
29 fdm 5563 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  dom  ( T
( proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  =  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) )
3029eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( T  .(+)  ( 
._|_  `  T ) )  =  dom  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) )
31 fdm 5563 . . . . . . 7  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  dom  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) )  =  V )
3231eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  (
( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  dom  ( T (
proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) )  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3330, 32syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  ->  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) )
34 feq2 5543 . . . . . 6  |-  ( ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) )  =  V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  <-> 
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V ) )
3534biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V  ->  ( T (
proj1 `  W
) (  ._|_  `  T
) ) : V --> V ) )
3633, 35impbid 191 . . . 4  |-  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : ( T  .(+)  (  ._|_  `  T ) ) --> V  ->  ( ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3728, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  L )  ->  (
( T ( proj1 `  W )
(  ._|_  `  T )
) : V --> V  <->  ( T  .(+) 
(  ._|_  `  T )
)  =  V ) )
3837pm5.32da 641 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( ( T  e.  L  /\  ( T ( proj1 `  W ) (  ._|_  `  T ) ) : V --> V )  <->  ( T  e.  L  /\  ( T  .(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
396, 38syl5bb 257 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  L  /\  ( T 
.(+)  (  ._|_  `  T
) )  =  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378  SubGrpcsubg 15675  Cntzccntz 15833   LSSumclsm 16133   proj1cpj1 16134   Abelcabel 16278   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   PreHilcphl 18053   ocvcocv 18085   projcpj 18125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-pj1 16136  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lmhm 17103  df-lvec 17184  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-phl 18055  df-ocv 18088  df-pj 18128
This theorem is referenced by:  pjff  18137  pjf2  18139  pjfo  18140  pjcss  18141  ocvpj  18142  ishil2  18144  pjth2  20927
  Copyright terms: Public domain W3C validator