HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjdifnormii Structured version   Unicode version

Theorem pjdifnormii 25091
Description: Theorem 4.5(v)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1  |-  H  e. 
CH
pjidm.2  |-  A  e. 
~H
pjsslem.1  |-  G  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjdifnormii  |-  ( 0  <_  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  A )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) )

Proof of Theorem pjdifnormii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . . 6  |-  G  e. 
CH
2 pjidm.2 . . . . . 6  |-  A  e. 
~H
31, 2pjhclii 24830 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G ) `
 A )  e. 
~H
43normcli 24538 . . . 4  |-  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A
) )  e.  RR
54resqcli 11956 . . 3  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
6 pjidm.1 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
76, 2pjhclii 24830 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H ) `
 A )  e. 
~H
87normcli 24538 . . . 4  |-  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  e.  RR
98resqcli 11956 . . 3  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  e.  RR
105, 9subge0i 9898 . 2  |-  ( 0  <_  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) ^
2 ) )
11 his2sub 24499 . . . . 5  |-  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  G ) `
 A )  -h  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  .ih  A
)  =  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  .ih  A )  -  ( ( (
proj h `  H ) `
 A )  .ih  A ) ) )
123, 7, 2, 11mp3an 1314 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  A )  =  ( ( ( (
proj h `  G ) `
 A )  .ih  A )  -  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  .ih  A )
)
131, 2pjinormii 25084 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  .ih  A )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A
) ) ^ 2 )
146, 2pjinormii 25084 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  .ih  A )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )
1513, 14oveq12i 6108 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  .ih  A )  -  ( ( (
proj h `  H ) `
 A )  .ih  A ) )  =  ( ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  A
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 ) )
1612, 15eqtri 2463 . . 3  |-  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  A )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 ) )
1716breq2i 4305 . 2  |-  ( 0  <_  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  A )  <->  0  <_  ( ( ( normh `  (
( proj h `  G ) `  A
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) ) ^
2 ) ) )
18 normge0 24533 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) )
197, 18ax-mp 5 . . 3  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `
 A ) )
20 normge0 24533 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  G ) `  A
) ) )
213, 20ax-mp 5 . . 3  |-  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 A ) )
228, 4le2sqi 11960 . . 3  |-  ( ( 0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 A ) ) )  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 A ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) ^
2 ) ) )
2319, 21, 22mp2an 672 . 2  |-  ( (
normh `  ( ( proj h `  H ) `  A ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj h `  G ) `
 A ) )  <-> 
( ( normh `  (
( proj h `  H ) `  A
) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) ^
2 ) )
2410, 17, 233bitr4i 277 1  |-  ( 0  <_  ( ( ( ( proj h `  G ) `  A
)  -h  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  A )  <->  ( normh `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  <_  ( normh `  ( ( proj h `  G ) `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287    <_ cle 9424    - cmin 9600   2c2 10376   ^cexp 11870   ~Hchil 24326    .ih csp 24329   normhcno 24330    -h cmv 24332   CHcch 24336   proj hcpjh 24344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hvcom 24408  ax-hvass 24409  ax-hv0cl 24410  ax-hvaddid 24411  ax-hfvmul 24412  ax-hvmulid 24413  ax-hvmulass 24414  ax-hvdistr1 24415  ax-hvdistr2 24416  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his1 24489  ax-his2 24490  ax-his3 24491  ax-his4 24492  ax-hcompl 24609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-lm 18838  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cfil 20771  df-cau 20772  df-cmet 20773  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-subgo 23794  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ims 23984  df-dip 24101  df-ssp 24125  df-ph 24218  df-cbn 24269  df-hnorm 24375  df-hba 24376  df-hvsub 24378  df-hlim 24379  df-hcau 24380  df-sh 24614  df-ch 24629  df-oc 24660  df-ch0 24661  df-shs 24716  df-pjh 24803
This theorem is referenced by:  pjdifnormi  25576
  Copyright terms: Public domain W3C validator