Theorem pjcss 18269

Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjcss.k	|- K = ( proj ` W )
pjcss.c	|- C = ( CSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjcss	|- ( W e. PreHil -> dom K C_ C )

Proof of Theorem pjcss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcss.c	. . . 4 |- C = ( CSubSp ` W )
2		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		eqid 2454	. . . 4 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
4		eqid 2454	. . . 4 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
5		simpl 457	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> W e. PreHil )
6		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
7		pjcss.k	. . . . . . 7 |- K = ( proj ` W )
8	2, 6, 3, 4, 7	pjdm2 18264	. . . . . 6 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K <-> ( x e. ( LSubSp ` W ) /\ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) ) ) )
9	8	simprbda 623	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. ( LSubSp ` W ) )
10	2, 6	lssss 17144	. . . . 5 |- ( x e. ( LSubSp ` W ) -> x C_ ( Base ` W ) )
11	9, 10	syl 16	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x C_ ( Base ` W ) )
12	2, 3	ocvss 18223	. . . . 5 |- ( ( ocv ` W ) ` ( ( ocv ` W ) ` x ) ) C_ ( Base ` W )
13	8	simplbda 624	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) )
14	12, 13	syl5sseqr 3516	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( ocv ` W ) ` ( ( ocv ` W ) ` x ) ) C_ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 11, 14	lsmcss 18245	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. C )
16	15	ex 434	. 2 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K -> x e. C ) )
17	16	ssrdv 3473	1 |- ( W e. PreHil -> dom K C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3439   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   LSSumclsm 16257   LSubSpclss 17139   PreHilcphl 18181   ocvcocv 18213   CSubSpccss 18214   projcpj 18253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-lsm 16259  df-pj1 16260  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-oppr 16841  df-rnghom 16932  df-staf 17056  df-srng 17057  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lmhm 17229  df-lvec 17310  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-phl 18183  df-ocv 18216  df-css 18217  df-pj 18256

This theorem is referenced by:  ocvpj  18270  ishil2  18272  cldcss  21063  hlhil  21065