Theorem pjcss 18616

Description: A projection subspace is an (algebraically) closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjcss.k	|- K = ( proj ` W )
pjcss.c	|- C = ( CSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjcss	|- ( W e. PreHil -> dom K C_ C )

Proof of Theorem pjcss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjcss.c	. . . 4 |- C = ( CSubSp ` W )
2		eqid 2467	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		eqid 2467	. . . 4 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
4		eqid 2467	. . . 4 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
5		simpl 457	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> W e. PreHil )
6		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
7		pjcss.k	. . . . . . 7 |- K = ( proj ` W )
8	2, 6, 3, 4, 7	pjdm2 18611	. . . . . 6 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K <-> ( x e. ( LSubSp ` W ) /\ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) ) ) )
9	8	simprbda 623	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. ( LSubSp ` W ) )
10	2, 6	lssss 17454	. . . . 5 |- ( x e. ( LSubSp ` W ) -> x C_ ( Base ` W ) )
11	9, 10	syl 16	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x C_ ( Base ` W ) )
12	2, 3	ocvss 18570	. . . . 5 |- ( ( ocv ` W ) ` ( ( ocv ` W ) ` x ) ) C_ ( Base ` W )
13	8	simplbda 624	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) )
14	12, 13	syl5sseqr 3558	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( ocv ` W ) ` ( ( ocv ` W ) ` x ) ) C_ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 11, 14	lsmcss 18592	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. C )
16	15	ex 434	. 2 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K -> x e. C ) )
17	16	ssrdv 3515	1 |- ( W e. PreHil -> dom K C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3481   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   LSSumclsm 16527   LSubSpclss 17449   PreHilcphl 18528   ocvcocv 18560   CSubSpccss 18561   projcpj 18600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-pj1 16530  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-rnghom 17236  df-staf 17365  df-srng 17366  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lmhm 17539  df-lvec 17620  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-phl 18530  df-ocv 18563  df-css 18564  df-pj 18603

This theorem is referenced by:  ocvpj  18617  ishil2  18619  cldcss  21724  hlhil  21726