Theorem pjcmmul1i 11566

Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjcmmul1i	|- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)

Proof of Theorem pjcmmul1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . 4 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . . 4 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem4 11564	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
4		pjmfn 11087	. . . 4 |- proj Fn CH
5	1, 2	chincli 10808	. . . 4 |- (G i^i H) e. CH
6		fnfvelrn 4597	. . . 4 |- ((proj Fn CH /\ (G i^i H) e. CH) -> (proj` (G i^i H)) e. ran proj)
7	4, 5, 6	mp2an 758	. . 3 |- (proj` (G i^i H)) e. ran proj
8	3, 7	syl6eqel 1816	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)
9		pjadj2 11551	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj -> (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((proj` G) o. (proj` H)))
10	1	pjbdlni 11512	. . . . 5 |- (proj` G) e. BndLinOp
11	2	pjbdlni 11512	. . . . 5 |- (proj` H) e. BndLinOp
12	10, 11	adjcoi 11462	. . . 4 |- (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((adjh` (proj` H)) o. (adjh` (proj` G)))
13		pjadj3 11552	. . . . . 6 |- (H e. CH -> (adjh` (proj` H)) = (proj` H))
14	2, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (adjh` (proj` H)) = (proj` H)
15	14	coeq1i 3936	. . . 4 |- ((adjh` (proj` H)) o. (adjh` (proj` G))) = ((proj` H) o. (adjh` (proj` G)))
16		pjadj3 11552	. . . . . 6 |- (G e. CH -> (adjh` (proj` G)) = (proj` G))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . 5 |- (adjh` (proj` G)) = (proj` G)
18	17	coeq2i 3937	. . . 4 |- ((proj` H) o. (adjh` (proj` G))) = ((proj` H) o. (proj` G))
19	12, 15, 18	3eqtri 1749	. . 3 |- (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((proj` H) o. (proj` G))
20	9, 19	syl5reqr 1780	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
21	8, 20	impbii 173	1 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)

Syntax hints:   <-> wb 162   = wceq 1136   e. wcel 1138   i^i cin 2425  ran crn 3798   o. ccom 3801   Fn wfn 3804  ` cfv 3809  CHcch 10222  projcpj 10230  adj_hcado 10248

This theorem is referenced by:  pjcmmul2i 11567

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1140  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-reg 5505  ax-inf2 5540  ax-ac 5702  ax-hilex 10293  ax-hfvadd 10294  ax-hvcom 10295  ax-hvass 10296  ax-hv0cl 10297  ax-hvaddid 10298  ax-hfvmul 10299  ax-hvmulid 10300  ax-hvmulass 10301  ax-hvdistr1 10302  ax-hvdistr2 10303  ax-hvmul0 10304  ax-hfi 10371  ax-his1 10374  ax-his2 10375  ax-his3 10376  ax-his4 10377  ax-hcompl 10496

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-iin 3080  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-map 5194  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-sup 5474  df-r1 5559  df-rank 5560  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688  df-n 6903  df-2 6949  df-3 6950  df-4 6951  df-n0 7104  df-z 7140  df-q 7231  df-fl 7258  df-ioo 7323  df-uz 7382  df-fz 7433  df-seq1 7516  df-shft 7549  df-seqz 7571  df-exp 7607  df-sqr 7715  df-re 7796  df-im 7797  df-cj 7798  df-abs 7799  df-clim 8030  df-sum 8035  df-top 8656  df-bases 8658  df-topgen 8659  df-cld 8734  df-ntr 8735  df-cls 8736  df-cn 8825  df-cnp 8826  df-haus 8854  df-met 8865  df-bl 8867  df-opn 8868  df-lm 8995  df-grp 9111  df-gid 9112  df-ginv 9113  df-gdiv 9114  df-abl 9203  df-vc 9292  df-nv 9338  df-va 9341  df-ba 9342  df-sm 9343  df-0v 9344  df-vs 9345  df-nm 9346  df-ims 9347  df-ip 9484  df-lno 9539  df-nmo 9540  df-0o 9542  df-ph 9608  df-hnorm 10261  df-hvsub 10264  df-hlim 10265  df-hcau 10266  df-sh 10501  df-ch 10517  df-oc 10549  df-ch0 10550  df-pj 10662  df-h0op 11103  df-iop 11104  df-nmop 11194  df-cnop 11195  df-lnop 11196  df-bdop 11197  df-unop 11198  df-hmop 11199  df-nmfn 11200  df-nlfn 11201  df-cnfn 11202  df-lnfn 11203  df-adjh 11204

Copyright terms: Public domain