Theorem pjclem4 11772

Description: Lemma for projection commutation theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjclem4	|- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))

Proof of Theorem pjclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . . . . 6 |- ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. (G i^i H) <-> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. G /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. H))
2		pjclem1.1	. . . . . . . 8 |- G e. CH
3		pjclem1.2	. . . . . . . 8 |- H e. CH
4	2, 3	pjcocli 11731	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. G)
5	4	adantl 424	. . . . . 6 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. G)
6		fveq1 4680	. . . . . . . . 9 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = (((proj` H) o. (proj` G))` x))
7	6	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. H <-> (((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H))
8	3, 2	pjcocli 11731	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H)
9	7, 8	syl5bir 227	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (x e. ~H -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. H))
10	9	imp 377	. . . . . 6 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. H)
11	1, 5, 10	sylanbrc 527	. . . . 5 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. (G i^i H))
12	2, 3	chincli 11016	. . . . . . . 8 |- (G i^i H) e. CH
13	12	chshii 10730	. . . . . . 7 |- (G i^i H) e. SH
14		shocel 10788	. . . . . . 7 |- ((G i^i H) e. SH -> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` (G i^i H)) <-> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. ~H /\ A.y e. (G i^i H)((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` (G i^i H)) <-> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. ~H /\ A.y e. (G i^i H)((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0))
16	2, 3	pjcohcli 11732	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H)
17		hvsubcl 10519	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H) -> (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
18	16, 17	mpdan 768	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
19	18	adantl 424	. . . . . 6 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
20		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> x e. ~H)
21	16	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H)
22	12	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. (G i^i H) -> y e. ~H)
23	22	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> y e. ~H)
24	20, 21, 23	3jca 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> (x e. ~H /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
25	24	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> (x e. ~H /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
26		his2sub 10591	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = ((x .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = ((x .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)))
28	6	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) = ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y))
29	3, 2	pjadjcoi 11733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
30	29, 22	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
31	2, 3	pjclem4a 11771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. (G i^i H) -> (((proj` G) o. (proj` H))` y) = y)
32	31	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. (G i^i H) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih y))
33	32	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih y))
34	30, 33	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih y))
35	28, 34	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . 10 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) = (x .ih y))
36	35	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> (((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)) = ((x .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)))
37	16, 22	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. (G i^i H)) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
39		hicl 10580	. . . . . . . . . 10 |- (((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) e. CC)
40		subid 6555	. . . . . . . . . 10 |- (((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) e. CC -> (((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)) = 0)
41	38, 39, 40	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> (((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y) - ((((proj` G) o. (proj` H))` x) .ih y)) = 0)
42	27, 36, 41	3eqtr2d 1932	. . . . . . . 8 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ (x e. ~H /\ y e. (G i^i H))) -> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)
43	42	expr 418	. . . . . . 7 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (y e. (G i^i H) -> ((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0))
44	43	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> A.y e. (G i^i H)((x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)
45	15, 19, 44	sylanbrc 527	. . . . 5 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` (G i^i H)))
46	12	pjvi 11285	. . . . 5 |- (((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. (G i^i H) /\ (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` (G i^i H))) -> ((proj` (G i^i H))` ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)))) = (((proj` G) o. (proj` H))` x))
47	11, 45, 46	syl11anc 524	. . . 4 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> ((proj` (G i^i H))` ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)))) = (((proj` G) o. (proj` H))` x))
48		id 73	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> x e. ~H)
49		hvaddsub12 10539	. . . . . . . 8 |- (((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ x e. ~H /\ (((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H) -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))) = (x +h ((((proj` G) o. (proj` H))` x) -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))))
50	16, 48, 16, 49	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))) = (x +h ((((proj` G) o. (proj` H))` x) -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))))
51		hvsubid 10527	. . . . . . . . 9 |- ((((proj` G) o. (proj` H))` x) e. ~H -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) = 0h)
52	16, 51	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)) = 0h)
53	52	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x +h ((((proj` G) o. (proj` H))` x) -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))) = (x +h 0h))
54		ax-hvaddid 10506	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x +h 0h) = x)
55	50, 53, 54	3eqtrd 1929	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x))) = x)
56	55	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (x e. ~H -> ((proj` (G i^i H))` ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)))) = ((proj` (G i^i H))` x))
57	56	adantl 424	. . . 4 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> ((proj` (G i^i H))` ((((proj` G) o. (proj` H))` x) +h (x -h (((proj` G) o. (proj` H))` x)))) = ((proj` (G i^i H))` x))
58	47, 57	eqtr3d 1927	. . 3 |- ((((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) /\ x e. ~H) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` (G i^i H))` x))
59	58	r19.21aiva 2176	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> A.x e. ~H (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` (G i^i H))` x))
60	2	pjfi 11284	. . . 4 |- (proj` G):~H-->~H
61	3	pjfi 11284	. . . 4 |- (proj` H):~H-->~H
62	60, 61	hocofi 11329	. . 3 |- ((proj` G) o. (proj` H)):~H-->~H
63	12	pjfi 11284	. . 3 |- (proj` (G i^i H)):~H-->~H
64	62, 63	hoeqi 11324	. 2 |- (A.x e. ~H (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` (G i^i H))` x) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
65	59, 64	sylib 215	1 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424   .ih csp 10425  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  pjci 11773  pjcmmul1i 11774  pjcmmul2i 11775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain