HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pjclem4 27852
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjclem4  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )

Proof of Theorem pjclem4
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . . . . . . 8  |-  H  e. 
CH
31, 2pjcocli 27812 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  G )
43adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  G
)
52, 1pjcocli 27812 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x )  e.  H )
6 fveq1 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x ) )
76eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H  <->  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x )  e.  H ) )
85, 7syl5ibr 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( x  e.  ~H  ->  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H
) )
98imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H
)
104, 9elind 3618 . . . . 5  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ( G  i^i  H ) )
111, 2pjcohcli 27813 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )
12 hvsubcl 26670 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )  ->  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e. 
~H )
1311, 12mpdan 674 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ~H )
1413adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ~H )
15 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  ->  x  e.  ~H )
1611adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )
171, 2chincli 27113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
1817cheli 26885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( G  i^i  H )  ->  y  e.  ~H )
1918adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
y  e.  ~H )
2015, 16, 193jca 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)
2120adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )
22 his2sub 26745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .ih  y
)  -  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( x 
.ih  y )  -  ( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) ) )
246oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x ) 
.ih  y ) )
252, 1pjadjcoi 27814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y ) ) )
2618, 25sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y ) ) )
271, 2pjclem4a 27851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( G  i^i  H )  ->  ( (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y )  =  y )
2827oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( G  i^i  H )  ->  ( x  .ih  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
2928adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y ) )  =  ( x 
.ih  y ) )
3026, 29eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  y ) )
3124, 30sylan9eq 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y )  =  ( x  .ih  y
) )
3231oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  -  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y ) )  =  ( ( x 
.ih  y )  -  ( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) ) )
3311, 18anim12i 570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)
3433adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )
35 hicl 26733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  e.  CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y )  e.  CC )
3736subidd 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  -  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y ) )  =  0 )
3823, 32, 373eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 )
3938expr 620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( y  e.  ( G  i^i  H )  ->  ( ( x  -h  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) )
4039ralrimiv 2800 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A. y  e.  ( G  i^i  H ) ( ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 )
4117chshii 26880 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  e.  SH
42 shocel 26935 . . . . . . 7  |-  ( ( G  i^i  H )  e.  SH  ->  (
( x  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  ( G  i^i  H
) )  <->  ( (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( G  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  ( G  i^i  H
) )  <->  ( (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( G  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) )
4414, 40, 43sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  ( G  i^i  H
) ) )
4517pjvi 27358 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ( G  i^i  H )  /\  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  ( G  i^i  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `
 ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )
4610, 44, 45syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )
47 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
48 hvaddsub12 26691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  ( ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )
4911, 47, 11, 48syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )
50 hvsubid 26679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  =  0h )
5111, 50syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  =  0h )
5251oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  0h ) )
53 ax-hvaddid 26657 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
5449, 52, 533eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  x )
5554fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) `
 x ) )
5655adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) `
 x ) )
5746, 56eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  x ) )
5857ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  x ) )
591pjfi 27357 . . . 4  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
602pjfi 27357 . . . 4  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
6159, 60hocofi 27419 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) : ~H --> ~H
6217pjfi 27357 . . 3  |-  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) : ~H --> ~H
6361, 62hoeqi 27414 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) `  x )  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
6458, 63sylib 200 1  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    i^i cin 3403    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539    - cmin 9860   ~Hchil 26572    +h cva 26573    .ih csp 26575   0hc0v 26577    -h cmv 26578   SHcsh 26581   CHcch 26582   _|_cort 26583   proj hcpjh 26590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26652  ax-hfvadd 26653  ax-hvcom 26654  ax-hvass 26655  ax-hv0cl 26656  ax-hvaddid 26657  ax-hfvmul 26658  ax-hvmulid 26659  ax-hvmulass 26660  ax-hvdistr1 26661  ax-hvdistr2 26662  ax-hvmul0 26663  ax-hfi 26732  ax-his1 26735  ax-his2 26736  ax-his3 26737  ax-his4 26738  ax-hcompl 26855
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-lm 20245  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-subgo 26030  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-dip 26337  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505  df-hnorm 26621  df-hba 26622  df-hvsub 26624  df-hlim 26625  df-hcau 26626  df-sh 26860  df-ch 26874  df-oc 26905  df-ch0 26906  df-shs 26961  df-pjh 27048
This theorem is referenced by:  pjci  27853  pjcmul1i  27854  pjcmul2i  27855
  Copyright terms: Public domain W3C validator