Theorem pjclem3 10209

Description: Lemma for projection commutation theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjclem3	|- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)))

Proof of Theorem pjclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` H~) o. (proj` G)) -op ((proj` G) o. (proj` H))) = (((proj` H~) o. (proj` G)) -op ((proj` H) o. (proj` G))))
2		df-iop 9758	. . . . . . . 8 |- Iop = (proj` H~)
3	2	coeq2i 3341	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = ((proj` G) o. (proj` H~))
4		pjclem1.1	. . . . . . . . 9 |- G e. CH
5	4	pjfi 9732	. . . . . . . 8 |- (proj` G):H~-->H~
6	5	hoid1i 9798	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = (proj` G)
7	3, 6	eqtr3i 1544	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. (proj` H~)) = (proj` G)
8	5	hoid1ri 9799	. . . . . 6 |- ( Iop o. (proj` G)) = (proj` G)
9	2	coeq1i 3340	. . . . . 6 |- ( Iop o. (proj` G)) = ((proj` H~) o. (proj` G))
10	7, 8, 9	3eqtr2i 1548	. . . . 5 |- ((proj` G) o. (proj` H~)) = ((proj` H~) o. (proj` G))
11	10	opreq1i 4029	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H~)) -op ((proj` G) o. (proj` H))) = (((proj` H~) o. (proj` G)) -op ((proj` G) o. (proj` H)))
12	1, 11	syl5eq 1566	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` G) o. (proj` H~)) -op ((proj` G) o. (proj` H))) = (((proj` H~) o. (proj` G)) -op ((proj` H) o. (proj` G))))
13		helch 9199	. . . . 5 |- H~ e. CH
14	13	pjfi 9732	. . . 4 |- (proj` H~):H~-->H~
15		pjclem1.2	. . . . 5 |- H e. CH
16	15	pjfi 9732	. . . 4 |- (proj` H):H~-->H~
17	4, 14, 16	pjddii 10167	. . 3 |- ((proj` G) o. ((proj` H~) -op (proj` H))) = (((proj` G) o. (proj` H~)) -op ((proj` G) o. (proj` H)))
18	14, 16, 5	hocsubdiri 9789	. . 3 |- (((proj` H~) -op (proj` H)) o. (proj` G)) = (((proj` H~) o. (proj` G)) -op ((proj` H) o. (proj` G)))
19	12, 17, 18	3eqtr4g 1578	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. ((proj` H~) -op (proj` H))) = (((proj` H~) -op (proj` H)) o. (proj` G)))
20	15	pjoci 10191	. . 3 |- ((proj` H~) -op (proj` H)) = (proj` (_|_` H))
21	20	coeq2i 3341	. 2 |- ((proj` G) o. ((proj` H~) -op (proj` H))) = ((proj` G) o. (proj` (_|_` H)))
22	20	coeq1i 3340	. 2 |- (((proj` H~) -op (proj` H)) o. (proj` G)) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G))
23	19, 21, 22	3eqtr3g 1577	1 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999   o. ccom 3231  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  H~chil 8871  CHcch 8881  _|_cort 8882  projcpj 8889   -op chod 8892   Iop chio 8896

This theorem is referenced by:  pjci 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806  ax-hilex 8952  ax-hfvadd 8953  ax-hvcom 8954  ax-hvass 8955  ax-hv0cl 8956  ax-hvaddid 8957  ax-hfvmul 8958  ax-hvmulid 8959  ax-hvmulass 8960  ax-hvdistr1 8961  ax-hvdistr2 8962  ax-hvmul0 8963  ax-hfi 9029  ax-his1 9032  ax-his2 9033  ax-his3 9034  ax-his4 9035  ax-hcompl 9154

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-clim 7065  df-sum 7070  df-top 7684  df-bases 7686  df-topgen 7687  df-cld 7748  df-ntr 7749  df-cls 7750  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-haus 7867  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-lm 8007  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304  df-ip 8434  df-ph 8556  df-hnorm 8920  df-hvsub 8923  df-hlim 8924  df-hcau 8925  df-sh 9159  df-ch 9175  df-oc 9207  df-ch0 9208  df-pj 9320  df-hosum 9589  df-hodif 9591  df-iop 9758

Copyright terms: Public domain