HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem1 Structured version   Unicode version

Theorem pjclem1 25621
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjclem1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
31, 2cmbri 25015 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
4 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
53, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
6 inss2 3592 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  C_  H
71choccli 24732 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
82, 7chub2i 24895 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
91, 2chdmm3i 24904 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( _|_ `  G )  vH  H )
108, 9sseqtr4i 3410 . . . . . . . 8  |-  H  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
116, 10sstri 3386 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
121, 2chincli 24885 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
132choccli 24732 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
141, 13chincli 24885 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
1512, 14pjscji 25596 . . . . . . 7  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
1716eqeq2i 2453 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
18 coeq2 5019 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  (
( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) ) )
1912pjfi 25129 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) : ~H --> ~H
2014pjfi 25129 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
212, 19, 20pjsdii 25581 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
2212, 2pjss1coi 25589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
236, 22mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
242, 14pjorthcoi 25595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
2623, 25oveq12i 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
2719hoaddid1i 25212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
2821, 26, 273eqtri 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )
2928eqeq2i 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
30 coeq2 5019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) ) )
31 inss1 3591 . . . . . . . . 9  |-  ( G  i^i  H )  C_  G
3212, 1pjss1coi 25589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  G  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3331, 32mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
3430, 33syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3529, 34sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3618, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3717, 36sylbi 195 . . . 4  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
385, 37syl 16 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
391, 2cmcm3i 25019 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  C_H  H
)
407, 2cmbri 25015 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
4139, 40bitri 249 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
42 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
43 inss2 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  H
442, 1chub2i 24895 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ( G  vH  H )
451, 2chdmm4i 24905 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( G  vH  H )
4644, 45sseqtr4i 3410 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
4743, 46sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
487, 2chincli 24885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  e. 
CH
497, 13chincli 24885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
5048, 49pjscji 25596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
5251eqeq2i 2453 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
53 coeq2 5019 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) ) )
5448pjfi 25129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) ) : ~H --> ~H
5549pjfi 25129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
562, 54, 55pjsdii 25581 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5748, 2pjss1coi 25589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
5843, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
592, 49pjorthcoi 25595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
6158, 60oveq12i 6124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  0hop )
6254hoaddid1i 25212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6356, 61, 623eqtri 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6463eqeq2i 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
65 coeq2 5019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) ) )
661, 13chub1i 24894 . . . . . . . . . . 11  |-  G  C_  ( G  vH  ( _|_ `  H ) )
671, 2chdmm2i 24903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  =  ( G  vH  ( _|_ `  H
) )
6866, 67sseqtr4i 3410 . . . . . . . . . 10  |-  G  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
691, 48pjorthcoi 25595 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop
7165, 70syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  = 
0hop )
7264, 71sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7353, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7452, 73sylbi 195 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7542, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7641, 75sylbi 195 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7738, 76oveq12d 6130 . 2  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
)
78 df-iop 25175 . . . . . . 7  |-  Iop  =  ( proj h `  ~H )
7978coeq2i 5021 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
802pjfi 25129 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
8180hoid1i 25215 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( proj h `  H )
8279, 81eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  (
proj h `  H )
831pjtoi 25605 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G ) 
+op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ~H )
8483coeq2i 5021 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
851pjfi 25129 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
867pjfi 25129 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) : ~H --> ~H
872, 85, 86pjsdii 25581 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8884, 87eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8982, 88eqtr3i 2465 . . . 4  |-  ( proj h `  H )  =  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
9089coeq2i 5021 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  (
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9180, 85hocofi 25192 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) : ~H --> ~H
9280, 86hocofi 25192 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) : ~H --> ~H
931, 91, 92pjsdii 25581 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9490, 93eqtr2i 2464 . 2  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )
9577, 94, 273eqtr3g 2498 1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    o. ccom 4865   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ~Hchil 24343   CHcch 24353   _|_cort 24354    vH chj 24357    C_H ccm 24360   proj hcpjh 24361    +op chos 24362   0hopch0o 24367    Iop chio 24368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-shs 24733  df-chj 24735  df-pjh 24820  df-cm 25008  df-hosum 25156  df-h0op 25174  df-iop 25175
This theorem is referenced by:  pjclem2  25622
  Copyright terms: Public domain W3C validator