HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem1 Structured version   Unicode version

Theorem pjclem1 26818
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjclem1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
31, 2cmbri 26212 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
4 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
53, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
6 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  C_  H
71choccli 25929 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
82, 7chub2i 26092 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
91, 2chdmm3i 26101 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( _|_ `  G )  vH  H )
108, 9sseqtr4i 3537 . . . . . . . 8  |-  H  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
116, 10sstri 3513 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
121, 2chincli 26082 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
132choccli 25929 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
141, 13chincli 26082 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
1512, 14pjscji 26793 . . . . . . 7  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
1716eqeq2i 2485 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
18 coeq2 5161 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  (
( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) ) )
1912pjfi 26326 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) : ~H --> ~H
2014pjfi 26326 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
212, 19, 20pjsdii 26778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
2212, 2pjss1coi 26786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
236, 22mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
242, 14pjorthcoi 26792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
2623, 25oveq12i 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
2719hoaddid1i 26409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
2821, 26, 273eqtri 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )
2928eqeq2i 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
30 coeq2 5161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) ) )
31 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( G  i^i  H )  C_  G
3212, 1pjss1coi 26786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  G  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3331, 32mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
3430, 33syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3529, 34sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3618, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3717, 36sylbi 195 . . . 4  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
385, 37syl 16 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
391, 2cmcm3i 26216 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  C_H  H
)
407, 2cmbri 26212 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
4139, 40bitri 249 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
42 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
43 inss2 3719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  H
442, 1chub2i 26092 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ( G  vH  H )
451, 2chdmm4i 26102 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( G  vH  H )
4644, 45sseqtr4i 3537 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
4743, 46sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
487, 2chincli 26082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  e. 
CH
497, 13chincli 26082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
5048, 49pjscji 26793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
5251eqeq2i 2485 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
53 coeq2 5161 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) ) )
5448pjfi 26326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) ) : ~H --> ~H
5549pjfi 26326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
562, 54, 55pjsdii 26778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5748, 2pjss1coi 26786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
5843, 57mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
592, 49pjorthcoi 26792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
6158, 60oveq12i 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  0hop )
6254hoaddid1i 26409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6356, 61, 623eqtri 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6463eqeq2i 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
65 coeq2 5161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) ) )
661, 13chub1i 26091 . . . . . . . . . . 11  |-  G  C_  ( G  vH  ( _|_ `  H ) )
671, 2chdmm2i 26100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  =  ( G  vH  ( _|_ `  H
) )
6866, 67sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . 10  |-  G  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
691, 48pjorthcoi 26792 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop
7165, 70syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  = 
0hop )
7264, 71sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7353, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7452, 73sylbi 195 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7542, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7641, 75sylbi 195 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7738, 76oveq12d 6302 . 2  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
)
78 df-iop 26372 . . . . . . 7  |-  Iop  =  ( proj h `  ~H )
7978coeq2i 5163 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
802pjfi 26326 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
8180hoid1i 26412 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( proj h `  H )
8279, 81eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  (
proj h `  H )
831pjtoi 26802 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G ) 
+op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ~H )
8483coeq2i 5163 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
851pjfi 26326 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
867pjfi 26326 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) : ~H --> ~H
872, 85, 86pjsdii 26778 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8884, 87eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8982, 88eqtr3i 2498 . . . 4  |-  ( proj h `  H )  =  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
9089coeq2i 5163 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  (
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9180, 85hocofi 26389 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) : ~H --> ~H
9280, 86hocofi 26389 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) : ~H --> ~H
931, 91, 92pjsdii 26778 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9490, 93eqtr2i 2497 . 2  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )
9577, 94, 273eqtr3g 2531 1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ~Hchil 25540   CHcch 25550   _|_cort 25551    vH chj 25554    C_H ccm 25557   proj hcpjh 25558    +op chos 25559   0hopch0o 25564    Iop chio 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-chj 25932  df-pjh 26017  df-cm 26205  df-hosum 26353  df-h0op 26371  df-iop 26372
This theorem is referenced by:  pjclem2  26819
  Copyright terms: Public domain W3C validator