HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem1 Structured version   Unicode version

Theorem pjclem1 27724
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjclem1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
31, 2cmbri 27119 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
4 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
53, 4sylbi 198 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  ->  ( proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
6 inss2 3680 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  C_  H
71choccli 26836 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
82, 7chub2i 26999 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
91, 2chdmm3i 27008 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( _|_ `  G )  vH  H )
108, 9sseqtr4i 3494 . . . . . . . 8  |-  H  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
116, 10sstri 3470 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
121, 2chincli 26989 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
132choccli 26836 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
141, 13chincli 26989 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
1512, 14pjscji 27699 . . . . . . 7  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
1716eqeq2i 2438 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
18 coeq2 5004 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  (
( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) ) )
1912pjfi 27233 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) : ~H --> ~H
2014pjfi 27233 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
212, 19, 20pjsdii 27684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
2212, 2pjss1coi 27692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
236, 22mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
242, 14pjorthcoi 27698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
2623, 25oveq12i 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
2719hoaddid1i 27315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
2821, 26, 273eqtri 2453 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )
2928eqeq2i 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
30 coeq2 5004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) ) )
31 inss1 3679 . . . . . . . . 9  |-  ( G  i^i  H )  C_  G
3212, 1pjss1coi 27692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  G  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3331, 32mpbi 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) )
3430, 33syl6eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3529, 34sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3618, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
3717, 36sylbi 198 . . . 4  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
385, 37syl 17 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
391, 2cmcm3i 27123 . . . . 5  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  C_H  H
)
407, 2cmbri 27119 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
4139, 40bitri 252 . . . 4  |-  ( G  C_H  H  <->  ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
42 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
43 inss2 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  H
442, 1chub2i 26999 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ( G  vH  H )
451, 2chdmm4i 27009 . . . . . . . . . 10  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( G  vH  H )
4644, 45sseqtr4i 3494 . . . . . . . . 9  |-  H  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
4743, 46sstri 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
487, 2chincli 26989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  e. 
CH
497, 13chincli 26989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
5048, 49pjscji 27699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( (
( _|_ `  G
)  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
5251eqeq2i 2438 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
( proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
53 coeq2 5004 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) ) )
5448pjfi 27233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) ) : ~H --> ~H
5549pjfi 27233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) : ~H --> ~H
562, 54, 55pjsdii 27684 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
5748, 2pjss1coi 27692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )  C_  H  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
5843, 57mpbi 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
592, 49pjorthcoi 27698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  0hop
6158, 60oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  0hop )
6254hoaddid1i 27315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) 
+op  0hop )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6356, 61, 623eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i 
H ) )  +op  ( proj h `  (
( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
6463eqeq2i 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  <->  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) )
65 coeq2 5004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) ) ) )
661, 13chub1i 26998 . . . . . . . . . . 11  |-  G  C_  ( G  vH  ( _|_ `  H ) )
671, 2chdmm2i 27007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  =  ( G  vH  ( _|_ `  H
) )
6866, 67sseqtr4i 3494 . . . . . . . . . 10  |-  G  C_  ( _|_ `  ( ( _|_ `  G )  i^i  H ) )
691, 48pjorthcoi 27698 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  (
( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
) )  =  0hop
7165, 70syl6eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  = 
0hop )
7264, 71sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7353, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( ( proj h `  ( ( _|_ `  G
)  i^i  H )
)  +op  ( proj h `  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7452, 73sylbi 198 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  G ) )  =  ( proj h `  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H
)  vH  ( ( _|_ `  G )  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7542, 74syl 17 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  G )  =  ( ( ( _|_ `  G )  i^i  H )  vH  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  ->  ( ( proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7641, 75sylbi 198 . . 3  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  0hop )
7738, 76oveq12d 6314 . 2  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  0hop )
)
78 df-iop 27278 . . . . . . 7  |-  Iop  =  ( proj h `  ~H )
7978coeq2i 5006 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
802pjfi 27233 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
8180hoid1i 27318 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  Iop  )  =  ( proj h `  H )
8279, 81eqtr3i 2451 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  (
proj h `  H )
831pjtoi 27708 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G ) 
+op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) )  =  (
proj h `  ~H )
8483coeq2i 5006 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H )
)
851pjfi 27233 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
867pjfi 27233 . . . . . . 7  |-  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) : ~H --> ~H
872, 85, 86pjsdii 27684 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8884, 87eqtr3i 2451 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
8982, 88eqtr3i 2451 . . . 4  |-  ( proj h `  H )  =  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) )
9089coeq2i 5006 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  (
( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9180, 85hocofi 27295 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) : ~H --> ~H
9280, 86hocofi 27295 . . . 4  |-  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) : ~H --> ~H
931, 91, 92pjsdii 27684 . . 3  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  +op  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )
9490, 93eqtr2i 2450 . 2  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )  +op  (
( proj h `  G )  o.  (
( proj h `  H )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  G ) ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )
9577, 94, 273eqtr3g 2484 1  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867    i^i cin 3432    C_ wss 3433   class class class wbr 4417    o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ~Hchil 26448   CHcch 26458   _|_cort 26459    vH chj 26462    C_H ccm 26465   proj hcpjh 26466    +op chos 26467   0hopch0o 26472    Iop chio 26473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608  ax-hilex 26528  ax-hfvadd 26529  ax-hvcom 26530  ax-hvass 26531  ax-hv0cl 26532  ax-hvaddid 26533  ax-hfvmul 26534  ax-hvmulid 26535  ax-hvmulass 26536  ax-hvdistr1 26537  ax-hvdistr2 26538  ax-hvmul0 26539  ax-hfi 26608  ax-his1 26611  ax-his2 26612  ax-his3 26613  ax-his4 26614  ax-hcompl 26731
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-hom 15174  df-cco 15175  df-rest 15281  df-topn 15282  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-topgen 15302  df-pt 15303  df-prds 15306  df-xrs 15360  df-qtop 15365  df-imas 15366  df-xps 15368  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-mulg 16628  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-met 18905  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-fbas 18908  df-fg 18909  df-cnfld 18912  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cld 19971  df-ntr 19972  df-cls 19973  df-nei 20051  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-lm 20182  df-haus 20268  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-fil 20798  df-fm 20890  df-flim 20891  df-flf 20892  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cfil 22144  df-cau 22145  df-cmet 22146  df-grpo 25805  df-gid 25806  df-ginv 25807  df-gdiv 25808  df-ablo 25896  df-subgo 25916  df-vc 26051  df-nv 26097  df-va 26100  df-ba 26101  df-sm 26102  df-0v 26103  df-vs 26104  df-nmcv 26105  df-ims 26106  df-dip 26223  df-ssp 26247  df-ph 26340  df-cbn 26391  df-hnorm 26497  df-hba 26498  df-hvsub 26500  df-hlim 26501  df-hcau 26502  df-sh 26736  df-ch 26750  df-oc 26781  df-ch0 26782  df-shs 26837  df-chj 26839  df-pjh 26924  df-cm 27112  df-hosum 27259  df-h0op 27277  df-iop 27278
This theorem is referenced by:  pjclem2  27725
  Copyright terms: Public domain W3C validator