Theorem pjci 11773

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjci	|- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Proof of Theorem pjci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . 3 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem2 11769	. 2 |- (G C_H H -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
4	1, 2	pjclem4 11772	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
5	1, 2	pjclem3 11770	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)))
6	2	choccli 10818	. . . . . . . 8 |- (_|_` H) e. CH
7	1, 6	pjclem4 11772	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
8	5, 7	syl 12	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
9	4, 8	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
10	2	pjtoi 11751	. . . . . . 7 |- ((proj` H) +op (proj` (_|_` H))) = (proj` ~H)
11	10	coeq2i 4126	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = ((proj` G) o. (proj` ~H))
12	2	pjfi 11284	. . . . . . 7 |- (proj` H):~H-->~H
13	6	pjfi 11284	. . . . . . 7 |- (proj` (_|_` H)):~H-->~H
14	1, 12, 13	pjsdii 11727	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
15		df-iop 11312	. . . . . . . 8 |- Iop = (proj` ~H)
16	15	coeq2i 4126	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = ((proj` G) o. (proj` ~H))
17	1	pjfi 11284	. . . . . . . 8 |- (proj` G):~H-->~H
18	17	hoid1i 11352	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = (proj` G)
19	16, 18	eqtr3i 1910	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. (proj` ~H)) = (proj` G)
20	11, 14, 19	3eqtr3ri 1920	. . . . 5 |- (proj` G) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
21		inss2 2813	. . . . . . . 8 |- (G i^i H) C_ H
22	1	choccli 10818	. . . . . . . . 9 |- (_|_` G) e. CH
23	2, 22	chub2i 11026	. . . . . . . 8 |- H C_ ((_|_` G) vH H)
24	21, 23	sstri 2626	. . . . . . 7 |- (G i^i H) C_ ((_|_` G) vH H)
25	1, 2	chdmm3i 11035	. . . . . . 7 |- (_|_` (G i^i (_|_` H))) = ((_|_` G) vH H)
26	24, 25	sseqtr4i 2650	. . . . . 6 |- (G i^i H) C_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
27	1, 2	chincli 11016	. . . . . . 7 |- (G i^i H) e. CH
28	1, 6	chincli 11016	. . . . . . 7 |- (G i^i (_|_` H)) e. CH
29	27, 28	pjscji 11742	. . . . . 6 |- ((G i^i H) C_ (_|_` (G i^i (_|_` H))) -> (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
30	26, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H))))
31	9, 20, 30	3eqtr4g 1953	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))))
32	27, 28	chjcli 11013	. . . . 5 |- ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))) e. CH
33	1, 32	pj11i 11291	. . . 4 |- ((proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
34	31, 33	sylib 215	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
35	1, 2	cmbri 11166	. . 3 |- (G C_H H <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
36	34, 35	sylibr 217	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G C_H H)
37	3, 36	impbii 174	1 |- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420  CHcch 10430  _|_cort 10431   vH chj 10434   C_H ccm 10437  projcpj 10438   +op chos 10439   Iop chio 10445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-hosum 11139  df-hodif 11141  df-cm 11159  df-h0op 11311  df-iop 11312

Copyright terms: Public domain