HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjci Structured version   Unicode version

Theorem pjci 27518
Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjci  |-  ( G  C_H  H  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )

Proof of Theorem pjci
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . 3  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . 3  |-  H  e. 
CH
31, 2pjclem2 27514 . 2  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )
41, 2pjclem4 27517 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  H ) ) )
51, 2pjclem3 27515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) )  o.  ( proj h `  G ) ) )
62choccli 26625 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
71, 6pjclem4 27517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( proj h `  ( _|_ `  H ) )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
85, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
94, 8oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  +op  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
10 df-iop 27067 . . . . . . . 8  |-  Iop  =  ( proj h `  ~H )
1110coeq2i 4983 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G )  o.  Iop  )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ~H )
)
121pjfi 27022 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
1312hoid1i 27107 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G )  o.  Iop  )  =  ( proj h `  G )
1411, 13eqtr3i 2433 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  (
proj h `  G )
152pjtoi 27497 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj h `  H ) 
+op  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  (
proj h `  ~H )
1615coeq2i 4983 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ~H )
)
172pjfi 27022 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
186pjfi 27022 . . . . . . . 8  |-  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) : ~H --> ~H
191, 17, 18pjsdii 27473 . . . . . . 7  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( ( proj h `  H )  +op  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  +op  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
2016, 19eqtr3i 2433 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ~H ) )  =  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  +op  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
2114, 20eqtr3i 2433 . . . . 5  |-  ( proj h `  G )  =  ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  +op  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
22 inss2 3659 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  C_  H
231choccli 26625 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
242, 23chub2i 26788 . . . . . . . 8  |-  H  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
2522, 24sstri 3450 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
261, 2chdmm3i 26797 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( _|_ `  G )  vH  H )
2725, 26sseqtr4i 3474 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
281, 2chincli 26778 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
291, 6chincli 26778 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
3028, 29pjscji 27488 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
3127, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
329, 21, 313eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  -> 
( proj h `  G )  =  (
proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
3328, 29chjcli 26775 . . . . 5  |-  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  e.  CH
341, 33pj11i 27029 . . . 4  |-  ( (
proj h `  G )  =  ( proj h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
3532, 34sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  ->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
361, 2cmbri 26908 . . 3  |-  ( G  C_H  H  <->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
3735, 36sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  ->  G  C_H  H )
383, 37impbii 188 1  |-  ( G  C_H  H  <->  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   class class class wbr 4394    o. ccom 4826   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ~Hchil 26236   CHcch 26246   _|_cort 26247    vH chj 26250    C_H ccm 26253   proj hcpjh 26254    +op chos 26255    Iop chio 26261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402  ax-hcompl 26519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-lm 20021  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cfil 21984  df-cau 21985  df-cmet 21986  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-subgo 25704  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-dip 26011  df-ssp 26035  df-ph 26128  df-cbn 26179  df-hnorm 26285  df-hba 26286  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-hcau 26290  df-sh 26524  df-ch 26539  df-oc 26570  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-chj 26628  df-pjh 26713  df-cm 26901  df-hosum 27048  df-hodif 27050  df-h0op 27066  df-iop 27067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator