HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjbdlni Structured version   Unicode version

Theorem pjbdlni 27194
Description: A projector is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 3-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjbdlni  |-  ( proj h `  H )  e. 
BndLinOp

Proof of Theorem pjbdlni
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . 3  |-  H  e. 
CH
21pjlnopi 27192 . 2  |-  ( proj h `  H )  e.  LinOp
3 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( H  =  0H  ->  ( proj h `  H )  =  ( proj h `  0H ) )
43fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( H  =  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  ( normop `  ( proj h `  0H ) ) )
54eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( H  =  0H  ->  (
( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR  <->  ( normop `  ( proj h `  0H ) )  e.  RR ) )
61pjnmopi 27193 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  =  1 )
7 1re 9612 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
86, 7syl6eqel 2553 . . . . 5  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  H  =/=  0H )  -> 
( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR )
10 df-h0op 26793 . . . . . . . 8  |-  0hop  =  ( proj h `  0H )
1110fveq2i 5875 . . . . . . 7  |-  ( normop ` 
0hop )  =  (
normop `  ( proj h `  0H ) )
12 nmop0 27031 . . . . . . 7  |-  ( normop ` 
0hop )  =  0
1311, 12eqtr3i 2488 . . . . . 6  |-  ( normop `  ( proj h `  0H ) )  =  0
14 0re 9613 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
1513, 14eqeltri 2541 . . . . 5  |-  ( normop `  ( proj h `  0H ) )  e.  RR
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( normop `  ( proj h `  0H ) )  e.  RR )
175, 9, 16pm2.61ne 2772 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR )
181, 17ax-mp 5 . 2  |-  ( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR
19 elbdop2 26916 . 2  |-  ( (
proj h `  H )  e.  BndLinOp 
<->  ( ( proj h `  H )  e.  LinOp  /\  ( normop `  ( proj h `  H ) )  e.  RR ) )
202, 18, 19mpbir2an 920 1  |-  ( proj h `  H )  e. 
BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ` cfv 5594   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   CHcch 25972   0Hc0h 25978   proj hcpjh 25980   0hopch0o 25986   normopcnop 25988   LinOpclo 25990   BndLinOpcbo 25991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128  ax-hcompl 26245
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-subgo 25430  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737  df-ssp 25761  df-ph 25854  df-cbn 25905  df-hnorm 26011  df-hba 26012  df-hvsub 26014  df-hlim 26015  df-hcau 26016  df-sh 26250  df-ch 26265  df-oc 26296  df-ch0 26297  df-shs 26352  df-pjh 26439  df-h0op 26793  df-nmop 26884  df-lnop 26886  df-bdop 26887  df-hmop 26889
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  27246
  Copyright terms: Public domain W3C validator