HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjadj2coi Structured version   Unicode version

Theorem pjadj2coi 25729
Description: Adjoint of double composition of projections. Generalization of special case of Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1  |-  F  e. 
CH
pjadj2co.2  |-  G  e. 
CH
pjadj2co.3  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjadj2coi  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  A )  .ih  B )  =  ( A  .ih  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  B )
) )

Proof of Theorem pjadj2coi
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.3 . . . . 5  |-  H  e. 
CH
21pjhcli 24942 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
3 pjadj2co.1 . . . . 5  |-  F  e. 
CH
4 pjadj2co.2 . . . . 5  |-  G  e. 
CH
53, 4pjadjcoi 25686 . . . 4  |-  ( ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  .ih  B
)  =  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  .ih  ( (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) )
62, 5sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  .ih  B
)  =  ( ( ( proj h `  H ) `  A
)  .ih  ( (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) )
74, 3pjcohcli 25685 . . . 4  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B )  e.  ~H )
81pjadji 25209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B )  e.  ~H )  ->  ( ( (
proj h `  H ) `
 A )  .ih  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) )  =  ( A  .ih  (
( proj h `  H ) `  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) ) )
97, 8sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  H ) `  A )  .ih  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) )  =  ( A 
.ih  ( ( proj h `  H ) `  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) ) )
106, 9eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  .ih  B
)  =  ( A 
.ih  ( ( proj h `  H ) `  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) ) )
113pjfi 25228 . . . . . 6  |-  ( proj h `  F ) : ~H --> ~H
124pjfi 25228 . . . . . 6  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
1311, 12hocofi 25291 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) : ~H --> ~H
141pjfi 25228 . . . . 5  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
1513, 14hocoi 25289 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  A )  =  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) )
1615oveq1d 6191 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  A )  .ih  B
)  =  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( (
proj h `  H ) `
 A ) ) 
.ih  B ) )
1716adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  A )  .ih  B )  =  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) `  ( ( proj h `  H ) `  A
) )  .ih  B
) )
18 coass 5440 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
)  =  ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) )
1918fveq1i 5776 . . . . 5  |-  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  B )  =  ( ( (
proj h `  H )  o.  ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) ) `
 B )
2012, 11hocofi 25291 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) : ~H --> ~H
2114, 20hocoi 25289 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  H )  o.  (
( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) ) `  B
)  =  ( (
proj h `  H ) `
 ( ( (
proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) )
2219, 21syl5eq 2502 . . . 4  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B )  =  ( ( proj h `  H ) `  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) )
2322oveq2d 6192 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  .ih  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  B )
)  =  ( A 
.ih  ( ( proj h `  H ) `  ( ( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) ) )
2423adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  (
( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) )  =  ( A  .ih  (
( proj h `  H ) `  (
( ( proj h `  G )  o.  ( proj h `  F ) ) `  B ) ) ) )
2510, 17, 243eqtr4d 2500 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  A )  .ih  B )  =  ( A  .ih  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    o. ccom 4928   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   ~Hchil 24442    .ih csp 24445   CHcch 24452   proj hcpjh 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cc 8691  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449  ax-hilex 24522  ax-hfvadd 24523  ax-hvcom 24524  ax-hvass 24525  ax-hv0cl 24526  ax-hvaddid 24527  ax-hfvmul 24528  ax-hvmulid 24529  ax-hvmulass 24530  ax-hvdistr1 24531  ax-hvdistr2 24532  ax-hvmul0 24533  ax-hfi 24602  ax-his1 24605  ax-his2 24606  ax-his3 24607  ax-his4 24608  ax-hcompl 24725
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ioo 11391  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-hom 14350  df-cco 14351  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-pt 14471  df-prds 14474  df-xrs 14528  df-qtop 14533  df-imas 14534  df-xps 14536  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-cnfld 17914  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-cld 18725  df-ntr 18726  df-cls 18727  df-nei 18804  df-cn 18933  df-cnp 18934  df-lm 18935  df-haus 19021  df-tx 19237  df-hmeo 19430  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-xms 19997  df-ms 19998  df-tms 19999  df-cfil 20868  df-cau 20869  df-cmet 20870  df-grpo 23799  df-gid 23800  df-ginv 23801  df-gdiv 23802  df-ablo 23890  df-subgo 23910  df-vc 24045  df-nv 24091  df-va 24094  df-ba 24095  df-sm 24096  df-0v 24097  df-vs 24098  df-nmcv 24099  df-ims 24100  df-dip 24217  df-ssp 24241  df-ph 24334  df-cbn 24385  df-hnorm 24491  df-hba 24492  df-hvsub 24494  df-hlim 24495  df-hcau 24496  df-sh 24730  df-ch 24745  df-oc 24776  df-ch0 24777  df-shs 24832  df-pjh 24919
This theorem is referenced by:  pj3si  25732  pj3cor1i  25734
  Copyright terms: Public domain W3C validator