MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj2f Structured version   Unicode version

Theorem pj2f 16301
Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj2f  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )

Proof of Theorem pj2f
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 incom 3643 . . . 4  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
8 pj1eu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
97, 8syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
10 pj1eu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
114, 6, 5, 10cntzrecd 16281 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Z `  T ) )
12 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12pj1f 16300 . 2  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U )
142, 4lsmcom2 16260 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
156, 5, 10, 14syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1615feq2d 5647 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U P T ) : ( T  .(+)  U ) --> U 
<->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U ) )
1713, 16mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3427    C_ wss 3428   {csn 3977   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   +g cplusg 14342   0gc0g 14482  SubGrpcsubg 15779  Cntzccntz 15937   LSSumclsm 16239   proj1cpj1 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-lsm 16241  df-pj1 16242
This theorem is referenced by:  pj1eq  16303  pj1ghm  16306  lsmhash  16308  pj1lmhm  17289
  Copyright terms: Public domain W3C validator