MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj2f Structured version   Unicode version

Theorem pj2f 16505
Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj2f  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )

Proof of Theorem pj2f
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 incom 3684 . . . 4  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
8 pj1eu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
97, 8syl5eq 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
10 pj1eu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
114, 6, 5, 10cntzrecd 16485 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Z `  T ) )
12 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12pj1f 16504 . 2  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U )
142, 4lsmcom2 16464 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
156, 5, 10, 14syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1615feq2d 5709 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U P T ) : ( T  .(+)  U ) --> U 
<->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U ) )
1713, 16mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3468    C_ wss 3469   {csn 4020   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   +g cplusg 14544   0gc0g 14684  SubGrpcsubg 15983  Cntzccntz 16141   LSSumclsm 16443   proj1cpj1 16444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-pj1 16446
This theorem is referenced by:  pj1eq  16507  pj1ghm  16510  lsmhash  16512  pj1lmhm  17522
  Copyright terms: Public domain W3C validator