MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj2f Structured version   Unicode version

Theorem pj2f 16585
Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj2f  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )

Proof of Theorem pj2f
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . 3  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 incom 3673 . . . 4  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
8 pj1eu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
97, 8syl5eq 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
10 pj1eu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
114, 6, 5, 10cntzrecd 16565 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Z `  T ) )
12 pj1f.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12pj1f 16584 . 2  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U )
142, 4lsmcom2 16544 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
156, 5, 10, 14syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1615feq2d 5704 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U P T ) : ( T  .(+)  U ) --> U 
<->  ( U P T ) : ( U 
.(+)  T ) --> U ) )
1713, 16mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( U P T ) : ( T 
.(+)  U ) --> U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    i^i cin 3457    C_ wss 3458   {csn 4010   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   +g cplusg 14569   0gc0g 14709  SubGrpcsubg 16064  Cntzccntz 16222   LSSumclsm 16523   proj1cpj1 16524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-pj1 16526
This theorem is referenced by:  pj1eq  16587  pj1ghm  16590  lsmhash  16592  pj1lmhm  17614
  Copyright terms: Public domain W3C validator