MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Unicode version

Theorem pj1lmhm2 17942
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pj1lmhm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pj1lmhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
pj1lmhm.p  |-  P  =  ( proj1 `  W )
pj1lmhm.1  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
pj1lmhm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
pj1lmhm.3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pj1lmhm.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
2 pj1lmhm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 pj1lmhm.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 pj1lmhm.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  W )
5 pj1lmhm.1 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 pj1lmhm.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
7 pj1lmhm.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pj1lmhm.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 17941 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W ) )
10 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
11 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
121lsssssubg 17799 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  C_  (SubGrp `  W
) )
1413, 6sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
1513, 7sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
16 lmodabl 17752 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1811, 17, 14, 15ablcntzd 17062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  U
) )
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 16914 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
20 frn 5719 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
22 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Ws  T )  =  ( Ws  T )
2322, 1reslmhm2b 17895 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  L  /\  ran  ( T P U )  C_  T )  ->  (
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
245, 6, 21, 23syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
259, 24mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾s cress 14717   +g cplusg 14784   0gc0g 14929  SubGrpcsubg 16394  Cntzccntz 16552   LSSumclsm 16853   proj1cpj1 16854   Abelcabl 16998   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LMHom clmhm 17860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-pj1 16856  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lmhm 17863
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator