MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pj1lmhm2 18373
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pj1lmhm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pj1lmhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
pj1lmhm.p  |-  P  =  ( proj1 `  W )
pj1lmhm.1  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
pj1lmhm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
pj1lmhm.3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pj1lmhm.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
2 pj1lmhm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 pj1lmhm.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 pj1lmhm.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  W )
5 pj1lmhm.1 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 pj1lmhm.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
7 pj1lmhm.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pj1lmhm.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 18372 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W ) )
10 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
11 eqid 2462 . . . . 5  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
121lsssssubg 18230 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
135, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  C_  (SubGrp `  W
) )
1413, 6sseldd 3445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
1513, 7sseldd 3445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
16 lmodabl 18184 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
175, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1811, 17, 14, 15ablcntzd 17544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  U
) )
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 17396 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
20 frn 5758 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
2119, 20syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
22 eqid 2462 . . . 4  |-  ( Ws  T )  =  ( Ws  T )
2322, 1reslmhm2b 18326 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  L  /\  ran  ( T P U )  C_  T )  ->  (
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
245, 6, 21, 23syl3anc 1276 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
259, 24mpbid 215 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1455    e. wcel 1898    i^i cin 3415    C_ wss 3416   {csn 3980   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   ↾s cress 15171   +g cplusg 15239   0gc0g 15387  SubGrpcsubg 16860  Cntzccntz 17018   LSSumclsm 17335   proj1cpj1 17336   Abelcabl 17480   LModclmod 18140   LSubSpclss 18204   LMHom clmhm 18291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-0g 15389  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-subg 16863  df-ghm 16930  df-cntz 17020  df-lsm 17337  df-pj1 17338  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lmhm 18294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator