MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Unicode version

Theorem pj1lmhm2 18267
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pj1lmhm.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pj1lmhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
pj1lmhm.p  |-  P  =  ( proj1 `  W )
pj1lmhm.1  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
pj1lmhm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
pj1lmhm.3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pj1lmhm.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
2 pj1lmhm.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 pj1lmhm.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 pj1lmhm.p . . 3  |-  P  =  ( proj1 `  W )
5 pj1lmhm.1 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 pj1lmhm.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  L )
7 pj1lmhm.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pj1lmhm.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 18266 . 2  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W ) )
10 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
11 eqid 2428 . . . . 5  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
121lsssssubg 18124 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
135, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  C_  (SubGrp `  W
) )
1413, 6sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
1513, 7sseldd 3408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
16 lmodabl 18078 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
175, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1811, 17, 14, 15ablcntzd 17438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  U
) )
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 17290 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
20 frn 5695 . . . 4  |-  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T  ->  ran  ( T P U ) 
C_  T )
2119, 20syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( T P U )  C_  T
)
22 eqid 2428 . . . 4  |-  ( Ws  T )  =  ( Ws  T )
2322, 1reslmhm2b 18220 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  L  /\  ran  ( T P U )  C_  T )  ->  (
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
245, 6, 21, 23syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  W )  <-> 
( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) ) )
259, 24mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  ( T P U )  e.  ( ( Ws  ( T  .(+)  U ) ) LMHom  ( Ws  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1872    i^i cin 3378    C_ wss 3379   {csn 3941   ran crn 4797   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ↾s cress 15065   +g cplusg 15133   0gc0g 15281  SubGrpcsubg 16754  Cntzccntz 16912   LSSumclsm 17229   proj1cpj1 17230   Abelcabl 17374   LModclmod 18034   LSubSpclss 18098   LMHom clmhm 18185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-ghm 16824  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-pj1 17232  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lmhm 18188
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator