Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1id Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pj1id 17342
 Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1id

Proof of Theorem pj1id
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 SubGrp
2 subgrcl 16815 . . . . . . 7 SubGrp
31, 2syl 17 . . . . . 6
4 eqid 2450 . . . . . . . 8
54subgss 16811 . . . . . . 7 SubGrp
61, 5syl 17 . . . . . 6
7 pj1eu.3 . . . . . . 7 SubGrp
84subgss 16811 . . . . . . 7 SubGrp
97, 8syl 17 . . . . . 6
103, 6, 93jca 1187 . . . . 5
11 pj1eu.a . . . . . 6
12 pj1eu.s . . . . . 6
13 pj1f.p . . . . . 6
144, 11, 12, 13pj1val 17338 . . . . 5
1510, 14sylan 474 . . . 4
16 pj1eu.o . . . . . 6
17 pj1eu.z . . . . . 6 Cntz
18 pj1eu.4 . . . . . 6
19 pj1eu.5 . . . . . 6
2011, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19pj1eu 17339 . . . . 5
21 riotacl2 6263 . . . . 5
2220, 21syl 17 . . . 4
2315, 22eqeltrd 2528 . . 3
24 oveq1 6295 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2460 . . . . . 6
2625rexbidv 2900 . . . . 5
2726elrab 3195 . . . 4
2827simprbi 466 . . 3
2923, 28syl 17 . 2
30 simprr 765 . . 3
313ad2antrr 731 . . . . . 6
329ad2antrr 731 . . . . . 6
336ad2antrr 731 . . . . . 6
34 simplr 761 . . . . . . 7
3512, 17lsmcom2 17300 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
361, 7, 19, 35syl3anc 1267 . . . . . . . 8
3736ad2antrr 731 . . . . . . 7
3834, 37eleqtrd 2530 . . . . . 6
394, 11, 12, 13pj1val 17338 . . . . . 6
4031, 32, 33, 38, 39syl31anc 1270 . . . . 5
4111, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13pj1f 17340 . . . . . . . . 9
4241ad2antrr 731 . . . . . . . 8
4342, 34ffvelrnd 6021 . . . . . . 7
4419ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
4544, 43sseldd 3432 . . . . . . . . 9
46 simprl 763 . . . . . . . . 9
4711, 17cntzi 16976 . . . . . . . . 9
4845, 46, 47syl2anc 666 . . . . . . . 8
4930, 48eqtrd 2484 . . . . . . 7
50 oveq2 6296 . . . . . . . . 9
5150eqeq2d 2460 . . . . . . . 8
5251rspcev 3149 . . . . . . 7
5343, 49, 52syl2anc 666 . . . . . 6
54 simpll 759 . . . . . . . 8
55 incom 3624 . . . . . . . . . 10
5655, 18syl5eq 2496 . . . . . . . . 9
5717, 1, 7, 19cntzrecd 17321 . . . . . . . . 9
5811, 12, 16, 17, 7, 1, 56, 57pj1eu 17339 . . . . . . . 8
5954, 38, 58syl2anc 666 . . . . . . 7
60 oveq1 6295 . . . . . . . . . 10
6160eqeq2d 2460 . . . . . . . . 9
6261rexbidv 2900 . . . . . . . 8
6362riota2 6272 . . . . . . 7
6446, 59, 63syl2anc 666 . . . . . 6
6553, 64mpbid 214 . . . . 5
6640, 65eqtrd 2484 . . . 4
6766oveq2d 6304 . . 3
6830, 67eqtr4d 2487 . 2
6929, 68rexlimddv 2882 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wrex 2737  wreu 2738  crab 2740   cin 3402   wss 3403  csn 3967  wf 5577  cfv 5581  crio 6249  (class class class)co 6288  cbs 15114   cplusg 15183  c0g 15331  cgrp 16662  SubGrpcsubg 16804  Cntzccntz 16962  clsm 17279  cpj1 17280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-lsm 17281  df-pj1 17282 This theorem is referenced by:  pj1eq  17343  pj1ghm  17346  pj1lmhm  18316
 Copyright terms: Public domain W3C validator