Theorem pj1id 16196

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	|- .+ = ( +g ` G )
pj1eu.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )
pj1eu.o	|- .0. = ( 0g ` G )
pj1eu.z	|- Z = (Cntz ` G )
pj1eu.2	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
pj1eu.3	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
pj1eu.4	|- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
pj1eu.5	|- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
pj1f.p	|- P = ( proj1 ` G )

Assertion

Ref	Expression
pj1id	|- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ ( ( U P T ) ` X ) ) )

Proof of Theorem pj1id

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
2		subgrcl 15686	. . . . . . 7 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
4		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
5	4	subgss 15682	. . . . . . 7 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
6	1, 5	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> T C_ ( Base ` G ) )
7		pj1eu.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
8	4	subgss 15682	. . . . . . 7 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ ( Base ` G ) )
10	3, 6, 9	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) )
11		pj1eu.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
12		pj1eu.s	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` G )
13		pj1f.p	. . . . . 6 |- P = ( proj1 ` G )
14	4, 11, 12, 13	pj1val 16192	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` X ) = ( iota_ x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) )
15	10, 14	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` X ) = ( iota_ x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) )
16		pj1eu.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
17		pj1eu.z	. . . . . 6 |- Z = (Cntz ` G )
18		pj1eu.4	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
19		pj1eu.5	. . . . . 6 |- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
20	11, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19	pj1eu 16193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> E! x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) )
21		riotacl2 6066	. . . . 5 |- ( E! x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) -> ( iota_ x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) e. { x e. T | E. y e. U X = ( x .+ y ) } )
22	20, 21	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> ( iota_ x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) e. { x e. T | E. y e. U X = ( x .+ y ) } )
23	15, 22	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` X ) e. { x e. T | E. y e. U X = ( x .+ y ) } )
24		oveq1 6098	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( T P U ) ` X ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) )
25	24	eqeq2d 2454	. . . . . 6 |- ( x = ( ( T P U ) ` X ) -> ( X = ( x .+ y ) <-> X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) )
26	25	rexbidv 2736	. . . . 5 |- ( x = ( ( T P U ) ` X ) -> ( E. y e. U X = ( x .+ y ) <-> E. y e. U X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) )
27	26	elrab 3117	. . . 4 |- ( ( ( T P U ) ` X ) e. { x e. T | E. y e. U X = ( x .+ y ) } <-> ( ( ( T P U ) ` X ) e. T /\ E. y e. U X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) )
28	27	simprbi 464	. . 3 |- ( ( ( T P U ) ` X ) e. { x e. T | E. y e. U X = ( x .+ y ) } -> E. y e. U X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) )
29	23, 28	syl 16	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> E. y e. U X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) )
30		simprr 756	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) )
31	3	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> G e. Grp )
32	9	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
33	6	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
34		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> X e. ( T .(+) U ) )
35	12, 17	lsmcom2 16154	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) = ( U .(+) T ) )
36	1, 7, 19, 35	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T .(+) U ) = ( U .(+) T ) )
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( T .(+) U ) = ( U .(+) T ) )
38	34, 37	eleqtrd 2519	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> X e. ( U .(+) T ) )
39	4, 11, 12, 13	pj1val 16192	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ U C_ ( Base ` G ) /\ T C_ ( Base ` G ) ) /\ X e. ( U .(+) T ) ) -> ( ( U P T ) ` X ) = ( iota_ u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) )
40	31, 32, 33, 38, 39	syl31anc 1221	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( U P T ) ` X ) = ( iota_ u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) )
41	11, 12, 16, 17, 1, 7, 18, 19, 13	pj1f 16194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T )
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T )
43	42, 34	ffvelrnd 5844	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( T P U ) ` X ) e. T )
44	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
45	44, 43	sseldd 3357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( T P U ) ` X ) e. ( Z ` U ) )
46		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> y e. U )
47	11, 17	cntzi 15847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T P U ) ` X ) e. ( Z ` U ) /\ y e. U ) -> ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) )
48	45, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) )
49	30, 48	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> X = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) )
50		oveq2 6099	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( ( T P U ) ` X ) -> ( y .+ v ) = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) )
51	50	eqeq2d 2454	. . . . . . . 8 |- ( v = ( ( T P U ) ` X ) -> ( X = ( y .+ v ) <-> X = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) ) )
52	51	rspcev 3073	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T P U ) ` X ) e. T /\ X = ( y .+ ( ( T P U ) ` X ) ) ) -> E. v e. T X = ( y .+ v ) )
53	43, 49, 52	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> E. v e. T X = ( y .+ v ) )
54		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ph )
55		incom 3543	. . . . . . . . . 10 |- ( U i^i T ) = ( T i^i U )
56	55, 18	syl5eq 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U i^i T ) = { .0. } )
57	17, 1, 7, 19	cntzrecd 16175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U C_ ( Z ` T ) )
58	11, 12, 16, 17, 7, 1, 56, 57	pj1eu 16193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( U .(+) T ) ) -> E! u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) )
59	54, 38, 58	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> E! u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) )
60		oveq1 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( u = y -> ( u .+ v ) = ( y .+ v ) )
61	60	eqeq2d 2454	. . . . . . . . 9 |- ( u = y -> ( X = ( u .+ v ) <-> X = ( y .+ v ) ) )
62	61	rexbidv 2736	. . . . . . . 8 |- ( u = y -> ( E. v e. T X = ( u .+ v ) <-> E. v e. T X = ( y .+ v ) ) )
63	62	riota2 6075	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U /\ E! u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) -> ( E. v e. T X = ( y .+ v ) <-> ( iota_ u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) = y ) )
64	46, 59, 63	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( E. v e. T X = ( y .+ v ) <-> ( iota_ u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) = y ) )
65	53, 64	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( iota_ u e. U E. v e. T X = ( u .+ v ) ) = y )
66	40, 65	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( U P T ) ` X ) = y )
67	66	oveq2d 6107	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` X ) .+ ( ( U P T ) ` X ) ) = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) )
68	30, 67	eqtr4d 2478	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) /\ ( y e. U /\ X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ y ) ) ) -> X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ ( ( U P T ) ` X ) ) )
69	29, 68	rexlimddv 2845	1 |- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> X = ( ( ( T P U ) ` X ) .+ ( ( U P T ) ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2716   E!wreu 2717   {crab 2719   i^i cin 3327   C_ wss 3328   {csn 3877   -->wf 5414   ` cfv 5418   iota_crio 6051  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675  Cntzccntz 15833   LSSumclsm 16133   proj1cpj1 16134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-pj1 16136

This theorem is referenced by:  pj1eq  16197  pj1ghm  16200  pj1lmhm  17181