Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm Structured version   Unicode version

Theorem pj1ghm 16594
 Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1ghm s

Proof of Theorem pj1ghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2 s s
2 eqid 2467 . 2
3 ovex 6320 . . 3
4 eqid 2467 . . . 4 s s
5 pj1eu.a . . . 4
64, 5ressplusg 14614 . . 3 s
73, 6ax-mp 5 . 2 s
8 pj1eu.2 . . . 4 SubGrp
9 pj1eu.3 . . . 4 SubGrp
10 pj1eu.5 . . . 4
11 pj1eu.s . . . . 5
12 pj1eu.z . . . . 5 Cntz
1311, 12lsmsubg 16547 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
148, 9, 10, 13syl3anc 1228 . . 3 SubGrp
154subggrp 16076 . . 3 SubGrp s
1614, 15syl 16 . 2 s
17 subgrcl 16078 . . 3 SubGrp
188, 17syl 16 . 2
19 pj1eu.o . . . . 5
20 pj1eu.4 . . . . 5
21 pj1f.p . . . . 5
225, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1f 16588 . . . 4
232subgss 16074 . . . . 5 SubGrp
248, 23syl 16 . . . 4
25 fss 5745 . . . 4
2622, 24, 25syl2anc 661 . . 3
274subgbas 16077 . . . . 5 SubGrp s
2814, 27syl 16 . . . 4 s
2928feq2d 5724 . . 3 s
3026, 29mpbid 210 . 2 s
3128eleq2d 2537 . . . . 5 s
3228eleq2d 2537 . . . . 5 s
3331, 32anbi12d 710 . . . 4 s s
3433biimpar 485 . . 3 s s
355, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 16590 . . . . . . . 8
3635adantrr 716 . . . . . . 7
375, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 16590 . . . . . . . 8
3837adantrl 715 . . . . . . 7
3936, 38oveq12d 6313 . . . . . 6
408adantr 465 . . . . . . . 8 SubGrp
41 grpmnd 15934 . . . . . . . 8
4240, 17, 413syl 20 . . . . . . 7
4340, 23syl 16 . . . . . . . 8
44 simpl 457 . . . . . . . . 9
45 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9
4622, 44, 45syl2an 477 . . . . . . . 8
4743, 46sseldd 3510 . . . . . . 7
48 simpr 461 . . . . . . . . 9
49 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9
5022, 48, 49syl2an 477 . . . . . . . 8
5143, 50sseldd 3510 . . . . . . 7
529adantr 465 . . . . . . . . 9 SubGrp
532subgss 16074 . . . . . . . . 9 SubGrp
5452, 53syl 16 . . . . . . . 8
555, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj2f 16589 . . . . . . . . 9
56 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9
5755, 44, 56syl2an 477 . . . . . . . 8
5854, 57sseldd 3510 . . . . . . 7
59 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9
6055, 48, 59syl2an 477 . . . . . . . 8
6154, 60sseldd 3510 . . . . . . 7
6210adantr 465 . . . . . . . . 9
6362, 50sseldd 3510 . . . . . . . 8
645, 12cntzi 16239 . . . . . . . 8
6563, 57, 64syl2anc 661 . . . . . . 7
662, 5, 42, 47, 51, 58, 61, 65mnd4g 15810 . . . . . 6
6739, 66eqtr4d 2511 . . . . 5
6820adantr 465 . . . . . 6
695subgcl 16083 . . . . . . . 8 SubGrp
70693expb 1197 . . . . . . 7 SubGrp
7114, 70sylan 471 . . . . . 6
725subgcl 16083 . . . . . . 7 SubGrp
7340, 46, 50, 72syl3anc 1228 . . . . . 6
745subgcl 16083 . . . . . . 7 SubGrp
7552, 57, 60, 74syl3anc 1228 . . . . . 6
765, 11, 19, 12, 40, 52, 68, 62, 21, 71, 73, 75pj1eq 16591 . . . . 5
7767, 76mpbid 210 . . . 4
7877simpld 459 . . 3
7934, 78syldan 470 . 2 s s
801, 2, 7, 5, 16, 18, 30, 79isghmd 16148 1 s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  csn 4033  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   ↾s cress 14508   cplusg 14572  c0g 14712  cmnd 15793  cgrp 15925  SubGrpcsubg 16067   cghm 16136  Cntzccntz 16225  clsm 16527  cpj1 16528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-pj1 16530 This theorem is referenced by:  pj1ghm2  16595  dpjghm  16984  pj1lmhm  17617
 Copyright terms: Public domain W3C validator