Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1ghm Structured version   Unicode version

Theorem pj1ghm 16590
 Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a
pj1eu.s
pj1eu.o
pj1eu.z Cntz
pj1eu.2 SubGrp
pj1eu.3 SubGrp
pj1eu.4
pj1eu.5
pj1f.p
Assertion
Ref Expression
pj1ghm s

Proof of Theorem pj1ghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . 2 s s
2 eqid 2441 . 2
3 ovex 6305 . . 3
4 eqid 2441 . . . 4 s s
5 pj1eu.a . . . 4
64, 5ressplusg 14611 . . 3 s
73, 6ax-mp 5 . 2 s
8 pj1eu.2 . . . 4 SubGrp
9 pj1eu.3 . . . 4 SubGrp
10 pj1eu.5 . . . 4
11 pj1eu.s . . . . 5
12 pj1eu.z . . . . 5 Cntz
1311, 12lsmsubg 16543 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
148, 9, 10, 13syl3anc 1227 . . 3 SubGrp
154subggrp 16073 . . 3 SubGrp s
1614, 15syl 16 . 2 s
17 subgrcl 16075 . . 3 SubGrp
188, 17syl 16 . 2
19 pj1eu.o . . . . 5
20 pj1eu.4 . . . . 5
21 pj1f.p . . . . 5
225, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1f 16584 . . . 4
232subgss 16071 . . . . 5 SubGrp
248, 23syl 16 . . . 4
2522, 24fssd 5726 . . 3
264subgbas 16074 . . . . 5 SubGrp s
2714, 26syl 16 . . . 4 s
2827feq2d 5704 . . 3 s
2925, 28mpbid 210 . 2 s
3027eleq2d 2511 . . . . 5 s
3127eleq2d 2511 . . . . 5 s
3230, 31anbi12d 710 . . . 4 s s
3332biimpar 485 . . 3 s s
345, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 16586 . . . . . . . 8
3534adantrr 716 . . . . . . 7
365, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj1id 16586 . . . . . . . 8
3736adantrl 715 . . . . . . 7
3835, 37oveq12d 6295 . . . . . 6
398adantr 465 . . . . . . . 8 SubGrp
40 grpmnd 15931 . . . . . . . 8
4139, 17, 403syl 20 . . . . . . 7
4239, 23syl 16 . . . . . . . 8
43 simpl 457 . . . . . . . . 9
44 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9
4522, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . 8
4642, 45sseldd 3487 . . . . . . 7
47 simpr 461 . . . . . . . . 9
48 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9
4922, 47, 48syl2an 477 . . . . . . . 8
5042, 49sseldd 3487 . . . . . . 7
519adantr 465 . . . . . . . . 9 SubGrp
522subgss 16071 . . . . . . . . 9 SubGrp
5351, 52syl 16 . . . . . . . 8
545, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21pj2f 16585 . . . . . . . . 9
55 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9
5654, 43, 55syl2an 477 . . . . . . . 8
5753, 56sseldd 3487 . . . . . . 7
58 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9
5954, 47, 58syl2an 477 . . . . . . . 8
6053, 59sseldd 3487 . . . . . . 7
6110adantr 465 . . . . . . . . 9
6261, 49sseldd 3487 . . . . . . . 8
635, 12cntzi 16236 . . . . . . . 8
6462, 56, 63syl2anc 661 . . . . . . 7
652, 5, 41, 46, 50, 57, 60, 64mnd4g 15806 . . . . . 6
6638, 65eqtr4d 2485 . . . . 5
6720adantr 465 . . . . . 6
685subgcl 16080 . . . . . . . 8 SubGrp
69683expb 1196 . . . . . . 7 SubGrp
7014, 69sylan 471 . . . . . 6
715subgcl 16080 . . . . . . 7 SubGrp
7239, 45, 49, 71syl3anc 1227 . . . . . 6
735subgcl 16080 . . . . . . 7 SubGrp
7451, 56, 59, 73syl3anc 1227 . . . . . 6
755, 11, 19, 12, 39, 51, 67, 61, 21, 70, 72, 74pj1eq 16587 . . . . 5
7666, 75mpbid 210 . . . 4
7776simpld 459 . . 3
7833, 77syldan 470 . 2 s s
791, 2, 7, 5, 16, 18, 29, 78isghmd 16145 1 s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1381   wcel 1802  cvv 3093   cin 3457   wss 3458  csn 4010  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277  cbs 14504   ↾s cress 14505   cplusg 14569  c0g 14709  cmnd 15788  cgrp 15922  SubGrpcsubg 16064   cghm 16133  Cntzccntz 16222  clsm 16523  cpj1 16524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-pj1 16526 This theorem is referenced by:  pj1ghm2  16591  dpjghm  16980  pj1lmhm  17614
 Copyright terms: Public domain W3C validator