MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Unicode version

Theorem pj1f 16318
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
pj1eu.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pj1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pj1eu.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
pj1eu.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pj1eu.4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
pj1eu.5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
pj1f.p  |-  P  =  ( proj1 `  G )
Assertion
Ref Expression
pj1f  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2 pj1eu.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
3 pj1eu.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 pj1eu.z . . . . 5  |-  Z  =  (Cntz `  G )
5 pj1eu.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pj1eu.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
7 pj1eu.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
8 pj1eu.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1eu 16317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )
10 riotacl 6179 . . . 4  |-  ( E! x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y )  ->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( T  .(+)  U ) )  ->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) )  e.  T )
12 eqid 2454 . . 3  |-  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) )
1311, 12fmptd 5979 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T )
14 subgrcl 15808 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
155, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1716subgss 15804 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
185, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
1916subgss 15804 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
206, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
21 pj1f.p . . . . 5  |-  P  =  ( proj1 `  G )
2216, 1, 2, 21pj1fval 16315 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T 
.(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2315, 18, 20, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T P U )  =  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) )
2423feq1d 5657 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T P U ) : ( T  .(+)  U ) --> T 
<->  ( z  e.  ( T  .(+)  U )  |->  ( iota_ x  e.  T  E. y  e.  U  z  =  ( x  .+  y ) ) ) : ( T  .(+)  U ) --> T ) )
2513, 24mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( T P U ) : ( T 
.(+)  U ) --> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   E!wreu 2801    i^i cin 3438    C_ wss 3439   {csn 3988    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529   iota_crio 6163  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532  SubGrpcsubg 15797  Cntzccntz 15955   LSSumclsm 16257   proj1cpj1 16258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-lsm 16259  df-pj1 16260
This theorem is referenced by:  pj2f  16319  pj1id  16320  pj1eq  16321  pj1ghm  16324  pj1ghm2  16325  lsmhash  16326  dpjf  16681  pj1lmhm  17307  pj1lmhm2  17308  pjdm2  18264  pjf2  18267
  Copyright terms: Public domain W3C validator