MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pirp Structured version   Unicode version

Theorem pirp 22962
Description:  pi is a positive real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
pirp  |-  pi  e.  RR+

Proof of Theorem pirp
StepHypRef Expression
1 pire 22959 . 2  |-  pi  e.  RR
2 pipos 22961 . 2  |-  0  <  pi
31, 2elrpii 11164 1  |-  pi  e.  RR+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1836   RR+crp 11161   picpi 13827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-fi 7808  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-seq 12034  df-exp 12093  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-shft 12925  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534  df-ef 13828  df-sin 13830  df-cos 13831  df-pi 13833  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-hom 14749  df-cco 14750  df-rest 14853  df-topn 14854  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-topgen 14874  df-pt 14875  df-prds 14878  df-xrs 14932  df-qtop 14937  df-imas 14938  df-xps 14940  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-fbas 18552  df-fg 18553  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cld 19628  df-ntr 19629  df-cls 19630  df-nei 19708  df-lp 19746  df-perf 19747  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-haus 19925  df-tx 20171  df-hmeo 20364  df-fil 20455  df-fm 20547  df-flim 20548  df-flf 20549  df-xms 20931  df-ms 20932  df-tms 20933  df-cncf 21490  df-limc 22378  df-dv 22379
This theorem is referenced by:  pige3  23018  sineq0  23022  cosordlem  23026  tanord1  23032  tanregt0  23034  argregt0  23105  argrege0  23106  logimul  23109  efopn  23149  isosctrlem1  23291  asinsin  23362  asin1  23364  reasinsin  23366  atanbnd  23396  atan1  23398  basellem1  23494  basellem4  23497  circum  29269  dvtanlemOLD  30270  wallispilem3  32054  stirlingr  32077  dirker2re  32079  dirkerdenne0  32080  dirkerper  32083  dirkertrigeq  32088  dirkercncflem1  32090  dirkercncflem2  32091  dirkercncflem4  32093  fourierdlem24  32118  fourierdlem43  32137  fourierdlem44  32138  fourierdlem77  32171  sqwvfoura  32216  sqwvfourb  32217  fourierswlem  32218  fouriersw  32219  taupilem1  38148  taupilem2  38149  taupi  38150
  Copyright terms: Public domain W3C validator